في بعض الأوقات يمكن أن تكون لعبة «الجثامين الفاتنة» مدعاة للملل إذا لم يحدث أن تكونت بعض الجمل الموحية. أما لعبة علماء الرياضيات فأكثر جدية، وسوف تكون أكثر رتابة وأدعى للملل إذا لم تتمخض عن تلك الدرة الثمينة: الصدق truth ، لكن ما هو الصدق في الرياضيات الصورية؟

 لنأخذ على سبيل المثال القضية. a∈A هناك حالتان محتملتان أن يكون أي من العنصر a والفئة A موجودا في ذاكرة الحاسوب فعلا، أو يكون أحدهما أيضا أو (كلاهما) لا يزال أو لا (يزالان) مجرد أسماء فقط من دون مضمون معين. ويمكن للحاسوب في الحالة الأولى أن يتحقق من صدق ما إذا كان a موجودا بالفعل بين عناصر الفئة A ومن ثم يقرر ما إذا كانت القضية صادقة أم كاذبة في الحالة الثانية يمكن الاستدلال على صدق القضية أو كذبها من استنتاج ما قبلي، أو أن يفترض صدقها فقط على سبيل الفرض. الحالة الأولى حالة مباشرة، أما الثانية فتستحق مزيدا من الاعتبار.

إذن الصدق الرياضي نتيجة منهج أكسيوماتيكي (بديهي) method يسيرaxiomatic العمل به عبر أربع خطوات . أما عن البداية أولا، فهناك عالم المقال الناتج عن قضايا سليمة نحويا . وهذه القضايا تكونت، كما شرحنا من قبل، من رموز تمثل أشياء (عناصر فئات)، وعلاقات =(⊄,∈) ، وعمليات ( ∪، ∩، ..... إن حساب القضايا propositional calculus يسمح للمرء بأن يربط بين القضايا السليمة تبعا لقواعد المنطق. هذه القواعد المماثلة كثيرا لتلك التي وضعها بول، يمكن تعليمها للحاسوب بسهولة. السؤال في الأساس عن كيفية تناول العمليات «و»، «أو»، «ليس»» ، «إذا كان.... فإن .... ». والحق أن القضايا الصحيحة نحويا والمخزونة فعلا في وحدة ذاكرة القضايا إذا عرفناها الآن بالحروف a,b,c ثم أمكن لبرنامج فرعي يسمى المنطق logic مخزن في وحدة ذاكرة (أخرى أن يكون القضايا الجديدة. a«وb»، «إذا كان ،a ، فإن b»، وهكذا ، وكل منها سوف يخزن أيضا في وحدة «القضايا»، وبهذا تكتمل الخطوة الثانية من المنهج الأكسيوماتيكي (البديهي). ولمصلحة القارئ الذي قد لا يرتاح بإزاء ترك المنطق للحاسوب، دعنا نشر إلى أن المنطق ذاته يمكن أن يصاغ صوريا وبديهيا وذلك مرة ثانية بفضل العمل الأساسي الذي بدأه فريغه وبيانو.

الخطوة الثالثة في المنهج الأكسيوماتيكي تتحدد في تعيين إحدى «قيمتي الصدق truth values  لكل قضية من القضايا وهاتان القيمتان تمثلان أيضا بالرمزين 0 (الذي نفسره الآن بأنه يعني الكذب) و1 (صدق) ويتم تخزينهما في الذاكرة تحت الاسم المميز «قيمنا الصدق». كل القضايا العينية القابلة للتحقق من صدقها مباشرة بواسطة الحاسوب يمكن التعرف على قيم صدقها في الحال (مثلا  3∈ [1,2,3) - من الواضح أنها صادقة). وهناك قضايا أخرى تظل في منزلة غير محددة، خاصة إذا كانت تشتمل على مفاهيم مجردة (مثلا 3∈A). ولا يمكن اعتبار قيمة صدقها إلا ٌ (كاسم قيمة صدق مجردV وهو نوع من نموذج المجهول المستخدم في الجبر، إلا إذا كانت V يمكن أن تأخذ فقط إحدى القيمتين 1 أو 0، أي صادقة أو كاذبة إن قيمة صدق القضية الناتجة عن تطبيق عمليات منطقية إنما تتحدد بقيمة صدق القضايا المكونة لها. على سبيل المثال إذا افترضنا أن كلتا القضيتين a وأصادقة، فإن القضية المركبة وتكون صادقة أيضا. يمكن إدخال هذا النوع من القواعد (المعروف جيدا منذ كريسيبوس في وحدة المنطق»، إن هناك ما يشبه السحابة المكونة من قيم صدق ممكنة معلقة فوق كل القضايا الممكنة في اللغة الصورية أما الخطوة الأخيرة فهي التي تعطي المنهج الأكسيوماتيكي اسمه، وهي تشتمل على اختيار عدد معين من القضايا وتقرير صحتها بصورة حاسمة، إنها البديهيات axioms ، المحكوم عليها بالصدق سلفا ، مثلا، سوف نذكر اثنتين من البديهيات العشرين العجيبة لنظرية الفئات الأولية [if = إذا كانت، then = إذن]: 

«If A⊂B and B⊂C, then A⊂C»,

 « If a∈ A and A⊂B, then a ∈ B»

لمساعدة القارئ على فهم الفكرة العامة لهذا المنهج الأكسيوماتيكي (البديهي) سوف نلجأ إلى رسم صورة بلاغية. ودعنا نتناس تناهي حاسوبنا ومحدوديته (وهو هنا مجرد أداة بلاغية. تحتفي بالأسلوب واللغة (المنمقة ونتخيل عالم المقال لنظرية الفئات الصورية أو لأي نظرية رياضياتية أخرى على أنه حقل واسع تتناثر فيه أشجار لا حصر لها تمثل كل القضايا الممكن تصورها أو تخيلها . بعض هذه الأشجار البديهيات تمثل نبع مياه الصدق وبالتالي تحدد قواعد المنطق شبكة قنوات لا تعد ولا تحصى لحمل الماء من شجرة إلى شجرة.

وبما أن حساب القضايا يولد آلافا مؤلفة من القضايا، وأن قيمة الصدق لقضايا جديدة يمكن استنتاجها من قيم صدق قضايا قديمة، فإن الصدق سوف يتدفق من النبع أي من البديهيات ليروي تدريجيا بصورة متصاعدة حقل القضايا بأكمله، والقضية التي يستقر صدقها بهذه الطريقة تدعى مبرهنة theorem»». ونجد بين هذه المبرهنات ما هو مألوف ويستحق هذه التسمية، بينما توجد أيضا قضايا أخرى عديدة، غير ذات صلة على الإطلاق أو لا أهمية لها ألبتة ومع ذلك فإنها جميعا صادقة. ويمكننا التحقق من صدقها بالنظر إلى سلسلة الاستنباطات المنطقية، أي القناة التي تنقل الصدق من منبعه الأكسيوماتيكي إلى المبرهنة مثل هذا المسار الذي يسلكه الصدق يسمى برهانا proof.

غالبا ما يثبط المنهج الأكسيوماتيكي الهمم بسبب مستواه التجريدي البالغ الإفراط، ويأسى الكثيرون لعجزه البالغ بإزاء ما يتعلق بالحدس، بينما يعتقد آخرون في المقابل أن صفاءه الخالص يفيد في الحماية من الافتراضات الخطرة أو التأويلات المضللة. يضاف إلى ذلك أن الرياضياتي الخبير يستطيع دائما أن يستخدم الحدس لانتقاء بديهيات مهمة حقا، وأن يستغل ذكاءه في البحث عن براهين. ومن المؤكد أن البديهيات إذا كانت قد اختيرت من بين غابة من القضايا اختيارا عشوائيا ، لما كانت النتيجة قد أدت في الأغلب إلى شيء – وربما تسفر فقط عن مبرهنات عادية غير ذات أهمية - بل وأسوأ من ذلك فربما تؤدي إلى متناقضات، كأن تستلزم ثلاث بديهيات أن تكون الرابعة كاذبة. إن الأعجوبة الأبدية المسماة بالرياضيات تجعل من الممكن أن تولد بديهيات معينة حقائق جديدة لا تنتهي، ويكون بعضها جميلا ورائعا الدرجة مثيرة للدهشة، إن البديهيات ذاتها يجري استخدامها مرارا وتكرارا دون أن ينقص من ثمارها شيء.

بالرجوع إلى الصورة التي رسمناها عن الصدق، وبدءا من البديهيات والانتشار خلال حقل القضايا، نجد من الممكن تخيل أن بعضا من هذه القضايا سوف يصعب بلوغ الغاية منها عن طريق السير عبر تدفق تيار الصدق، ومن ثم يكون محكوما عليها بالموات فتبقى عديمة الفائدة وعديمة الأهمية، بسبب نقصان القوت المغذي إياها . إلا أنه يمكن إحياؤها إذا أضيفت بديهية جديدة من الممكن أيضا أن تكون بعض القضايا سهلة المنال فقط خلال شبكة لا نهائية من القنوات التي لا يستطيع أحد البتة أن يتتبعها حتى نهاياتها، حيث هنالك يؤون أوان مبرهنة كورت غودل Godel's theorem الشهيرة التي سوف نناقشها بإيجاز.

لاحظ أن كل قضية لها مقابلة تنفيها . ومن الواضح أن صدق إحداهما يعني كذب الأخرى. ويقال إن منظومة البديهيات تكون متناقضة contradictory إذا أمكن أن يستنتج منها صدق مقولة ما ونفيها فوراء المظهر المزيف الذي يبدو سليما، يمكن لمنظومة معينة من البديهيات أن تخفي تناقضاً في الأعماق. لقد كانت هذه المسألة الخاصة باتساق consistency المنظومات البديهية مصدرا رئيسيا لقلق علماء الرياضيات ومدعاة لانشغالهم بها. وقد أمكن إثبات اتساق منظومات ذات طبيعة معينة وتتسم بالبساطة - من قبيل النظرية الأساسية للفئات المتناهية أو حساب الأعداد المتناهية. إلا أن مسألة الاتساق لم تستقر بعد بالنسبة إلى النظريات المهمة والمفيدة ،فعلا وهذا مصدر قلق وانزعاج البعض علماء الرياضيات .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم حفظ النظام ينهي استعداداته الخاصة بحفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

العتبة العباسية المقدسة تنشر أكاليل الزهور ومظاهر الفرح بمناسبة ذكرى ولادة أمير المؤمنين (عليه السلام)

مجمع الشيخ الكليني يواصل تحضيراته لاستقبال المشاركات في حفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

وصول المشاركات في فعاليات مهرجان روح النبوة الثقافي النسوي العالمي الثامن إلى كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث لجسمك عند تناول الوجبات السريعة يوميا؟

لصحة عظام المرأة.. الشاي أفضل أم القهوة؟

لبناء العضلات وإنقاص الوزن.. ما أفضل توقيت لتناول البيض؟

أطعمة صحية تساعد على التعافي من "الإنفلونزا الخارقة"

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

تجربة جديدة: الأسفلت المدعوم بالطحالب يقاوم الحفر ويقلل الانبعاثات الكربونية

تسريبات تكشف ملامح أول هاتف قابل للطي من "أبل"

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

المزيد

مواضيع ذات صلة

الميكانيكيا الكلاسيكية والحتمية

اللوغوس

مرونة المبادئ

المنهج والعلوم الاجتماعية

الفيزياء الكلاسيكية تلزم حدودها

ما تمكن ملاحظته

دور الاحتمالات

تأسيس علم