مفاهيم عن النهايات  THE CONCEPT OF LIMITS

مقدمة : INTRODUTION

إن مفهوم النهايات هو احد المفاهيم الرئيسية في علم التفاضل والتكامل، حيث يلعب دوراً رئيسياً في الكثير من التطبيقات الرياضية والفيزيائية . ولكي نقدم لهذا المفهوم ، دعنا نأخذ دالة حقيقية f(x) معرفة بالقرب من النقطة {a, f(a)} الموضحة في الشكل (2-1) مع ملاحظة أنه ليس من الضروري ان تكون الدالة معرفة عند النقطة a نفسها، كما نلاحظ أن العدد a يظهر على محور x.

في هذه الحالة ، نلاحظ أن قيمة الدالة f(x) تقترب من قيمة وحيدة ومحددة L (تقع على محور y) كلما اقتربت x من العدد a (على محور x) سواء كان هذا الاقتراب من جهة اليمين أو من جهة اليسار ، ولهذا فإننا نقول أن نهاية الدالة f(x) عندما  تؤول x إلى a تساوي القيمة L ، ونكتب وإذا كانت القيمة L ليست وحيدة أو غير محددة، فإنه لا توجد نهاية للدالة في هذه الحالة، ولهذا فإننا نقول إن ليس لها وجود.

                   شكل (1-1)

ذكرنا في تقديمنا لمفهوم النهاية أنه ليس من الضروري  أن تكون الدالة f(x) معرفة عند النقطة a نفسها، وإنما المهم هو معرفة قيمة الدالة بالقرب من النقطة a ، فإذا نظرنا إلى الدالة المبينة بشكل (2-1) نجد أن منحنى الدالة به انقطاع عند النقطة a وهو ما يعني ان الدالة إما أن تكون غير معرفة عند تلك النقطة أو أن قيمة الدالة عند هذه النقطة لا تقع على هذا المنحنى . ولكننا نلاحظ أنه إذا اقتربتx   من النقطة a  سواء كان ذلك من اليمين اومن جهة اليسار , فأن قيمة الداله (f(x تقترب من العدد L ، ولهذا فإن نهاية الدالة في هذه الحالة يكون لها وجود ، وتساوي القيمة L ، أي أن

شكل (2-1)

أما إذا كانت قيمة الدالة f(x) تقترب من عدد ما ، وعندما تقترب x من a من جهة اليمين مثلاً، وكان هذا العدد يختلف عن العدد الذي تقترب منه قيمة الدالة، عندما تقترب x من a من جهة اليسار ، فإن نهاية الدالة في هذه الحالة تكون غير موجودة، ويتضح ذلك من منحنى الدالة المبين بشكل (3-1) حيث نجد أنه عندما تقترب x من a من جهة اليمين  ، فإن الدالة تكون لها قيمة ثابتة وهي 1 ، بينما إذا اقتربت x من a  من جهة اليسار، فإن الدالة تكون لها قيمة ثابتة أخرى وهي L ، وعلى ذلك، فإن الدالة لا تقترب من قيمة وحيدة، وبالتالي تكون النهاية في هذه الحالة غير موجودة.

شكل (3-1)

وإذا نظرنا إلى المنحنى الدالة المبين بشكل (4-1) فإننا نجد أنه عندما نقترب x من a من جهة اليمين ، فإن قيمة الدالة f(x) تقترب من عدد كبير موجب وغير محدد (  ∞  +) ، بينما إذا اقتربت x من a من جهة اليسار ، فإننا نجد أن قيمة الدالة تقترب من عدد كبير سالب وغير محدد أيضاً ( ∞  -) ، ولهذا تكون نهاية الدالة غير موجودة.

شكل 4 - 1

ملاحظة : إذا وجدنا أنه عندما تقترب x من a من إحدى الجهات ، فإن قيمة الدالة f(x) تقترب من عدد كبير غير محدد (سواء كان ذلك العدد موجباً أو سالباً) فإن نهاية الدالة عند تلك النقطة تكون غير موجودة، بغض النظر عن القيمة التي تقترب إليها قيمة الدالة عندما تقترب x من a من الجهة الأخرى، ولكي نوضح كيفية الحصول على قيمة النهاية (إن وجدت).