المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05


Grothendieck,s Constant  
  
539   05:09 مساءً   date: 26-2-2020
Author : Finch, S. R.
Book or Source : "Grothendieck,s Constants." §3.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 28-7-2020 699
Date: 16-10-2019 866
Date: 20-11-2019 561

Grothendieck's Constant

 

Let A be an n×n real square matrix with n>=2 such that

 |sum_(i=1)^nsum_(j=1)^na_(ij)s_it_j|<=1

(1)

for all real numbers s_1s_2, ..., s_n and t_1t_2, ..., t_n such that |s_i|,|t_j|<=1. Then Grothendieck showed that there exists a constant k_R(n) satisfying

 |sum_(i=1)^nsum_(j=1)^na_(ij)x_i·y_j|<=k_R(n)

(2)

for all vectors x_1,x_2,...,x_m and y_1,y_2,...,y_n in a Hilbert space with norms |x_i|<=1 and |y_j|<=1. The Grothendieck constant is the smallest possible value of k_R(n). For example, the best values known for small n are

k_R(2) = sqrt(2)

(3)

k_R(3) < 1.517

(4)

k_R(4) <= 1/2pi

(5)

(Krivine 1977, 1979; König 1992; Finch 2003, p. 236).

Now consider the limit

 k_R=lim_(n->infty)k_R(n),

(6)

which is related to Khinchin's constant and sometimes also denoted K_G. Krivine (1977) showed that

 1.67696...<=k_R<=1.7822139781...,

(7)

and postulated that

 k_R=pi/(2ln(1+sqrt(2)))=1.7822139...

(8)

(OEIS A088367). The conjecture was refuted in 2011 by Yury Makarychev, Mark Braverman, Konstantin Makarychev, and Assaf Naor, who showed that k_R is strictly less than Krivine's bound (Makarychev 2011).

Similarly, if the numbers s_i and t_j and matrix A are taken as complex, then a similar set of constants k_C(n) may be defined. These are known to satisfy

k_C(2)  in [1.1526,1.2157]

(9)

k_C(3)  in [1.2108,1.2744]

(10)

k_C(4)  in [1.2413,1.3048]

(11)

(Krivine 1977, 1979; König 1990, 1992; Finch 2003, p. 236).

The limit

 k_C=lim_(n->infty)k_C(n)

(12)

satisfies

 1.33807<=k_C<=1.40491

(13)

(Krivine 1977, 1979; Haagerup 1987; Finch 20003, p. 246), where the upper limit (OEIS A088374) is given by 8/[pi(x_0+1)] with

psi(x) = xint_0^(pi/2)(cos^2theta)/(sqrt(1-x^2sin^2theta))dtheta

(14)

= 1/x[E(x)-(1-x^2)K(x)],

(15)

E(k) a complete elliptic integral of the second kind, K(k) a complete elliptic integral of the first kind, and x_0=0.812557... (OEIS A088373) the root of

 psi(x)=1/8pi(x+1).

(16)

However, Haagerup (1987) has suggested that the upper limit (and presumable actual value) is incorrect and would more plausibly be given by

(int_0^(pi/2)(cos^2theta)/(sqrt(1+sin^2theta))dtheta)^(-1) = 1/(2K(i)-E(i))

(17)

= 1.4045759...

(18)

(OEIS A088375; Finch 2003, pp. 236-237).


REFERENCES:

Finch, S. R. "Grothendieck's Constants." §3.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 235-237, 2003.

Fishburn, P. C. and Reeds, J. A. "Bell Inequalities, Grothendieck's Constant, and Root Two." SIAM J. Discr. Math. 7, 48-56, 1994.

Haagerup, U. "A New Upper Bound for the Complex Grothendieck Constant." Israeli J. Math. 60, 199-224, 1987.

König, H. "On the Complex Grothendieck Constant in the n-Dimensional Case." In Geometry of Banach Spaces: Proceedings of the Conference Held in Linz, 1989 (Ed. P. F. X. Müller and W. Schachermauer). Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 181-198, 1990.

König, H. "Some Remarks on the Grothendieck Inequality." General Inequalities 6, Proc. 1990 Oberwolfach Conference (Ed. W. Walter). Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 201-206, 1992.

Krivine, J.-L. "Sur la constante de Grothendieck." C. R. A. S. 284, 445-446, 1977.

Krivine, J.-L. "Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les spheres." Adv. Math. 31, 16-30, 1979.

Jameson, G. L. O. Summing and Nuclear Norms in Banach Space Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1987.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 42, 1983.

Lindenstrauss, J. and Pełczyński, A. "Absolutely Summing Operators in L_p Spaces and Their Applications." Studia Math. 29, 275-326, 1968.

Makarychev, Y. "The Grothendieck Constant Is Strictly Smaller Than Krivine." Seminar. Cambridge, MA: MIT Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory. Nov. 8, 2011.

Sloane, N. J. A. Sequences A088367, A088373, A088374, and A088375 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.