المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24
من آداب التلاوة
2024-11-24
مواعيد زراعة الفجل
2024-11-24
أقسام الغنيمة
2024-11-24
سبب نزول قوله تعالى قل للذين كفروا ستغلبون وتحشرون الى جهنم
2024-11-24


Inverse Hyperbolic Tangent  
  
1773   12:05 صباحاً   date: 3-6-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 18-6-2019 1354
Date: 25-4-2019 1877
Date: 13-8-2018 2945

Inverse Hyperbolic Tangent

ArcTanh

ArcTanhReImAbs
 
 
  Min   Max    
  Re    
  Im      

The inverse hyperbolic tangent tanh^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 481; Beyer 1987, p. 181), sometimes called the area hyperbolic tangent (Harris and Stocker 1998, p. 267), is the multivalued function that is the inverse function of the hyperbolic tangent.

The function is sometimes denoted arctanhz (Jeffrey 2000, p. 124) or Arthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxx). The variants Arctanhz or Artanhz (Harris and Stocker 1998, p. 263) are sometimes used to refer to explicit principal values of the inverse hyperbolic tangent, although this distinction is not always made. Worse yet, the notation arctanhz is sometimes used for the principal value, with Arctanhz being used for the multivalued function (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87). Note that in the notation tanh^(-1)ztanhz is the hyperbolic tangent and the superscript -1 denotes an inverse function, not the multiplicative inverse.

The principal value of tanh^(-1)z is implemented in the Wolfram Language as ArcTanh[z] and in the GNU C library as atanh(double x).

InverseHyperbolicTangentBranchCut

The inverse hyperbolic tangent is a multivalued function and hence requires a branch cut in the complex plane, which the Wolfram Language's convention places at the line segments (-infty,-1] and [1,infty). This follows from the definition of tanh^(-1)z as

 tanh^(-1)z=1/2[ln(1+z)-ln(1-z)].

(1)

The inverse hyperbolic tangent is given in terms of the inverse tangent by

 tanh^(-1)z=1/itan^(-1)(iz)

(2)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxx). For real x<1, this simplifies to

 tanh^(-1)x=1/2ln((1+x)/(1-x)).

(3)

The derivative of the inverse hyperbolic tangent is

 d/(dz)tanh^(-1)z=1/(1-z^2),

(4)

and the indefinite integral is

 inttanh^(-1)zdz=ztanh^(-1)z+1/2ln(z^2-1)+C.

(5)

It has special values

tanh^(-1)0 = 0

(6)

tanh^(-1)1 = infty

(7)

tanh^(-1)infty = -1/2pii

(8)

tanh^(-1)i = 1/4pii.

(9)

It has Maclaurin series

tanh^(-1)z = sum_(n=1)^(infty)(z^(2n-1))/(2n-1)

(10)

= z+1/3z^3+1/5z^5+1/7z^7+1/9z^9+...

(11)

tanh^(-1)z = -1/2pii+sum_(n=1)^(infty)(z^(-2n+1))/(2n-1)

(12)

= -1/2pii+z+1/3z^3+1/5z^5+1/7z^7+...

(13)

(OEIS A005408).

An indefinite integral involving tanh^(-1)z is given by

int(dx)/(xsqrt(a+bx)) = ln[(sqrt(a+bx)-sqrt(a))/(sqrt(a+bx)+sqrt(a))]

(14)

= ln[((sqrt(a+bx)-sqrt(a))^2)/((a+bx)-a)]

(15)

= ln[((2a+bx)-2sqrt(a(a+bx)))/(bx)]

(16)

= 2tanh^(-1)(-sqrt(a/(a+bx)))

(17)

when a>0.


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 86-89, 1972.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.

GNU C Library. "Mathematics: Inverse Trigonometric Functions." http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC391.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. xxx, 2000.

Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.

Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed.Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequence A005408/M2400 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.

Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Hyperbolic Functions." §6.8 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.