المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24
من آداب التلاوة
2024-11-24
مواعيد زراعة الفجل
2024-11-24
أقسام الغنيمة
2024-11-24
سبب نزول قوله تعالى قل للذين كفروا ستغلبون وتحشرون الى جهنم
2024-11-24


Whitehead Torsion  
  
1944   03:57 مساءً   date: 22-5-2021
Author : Milnor, J.
Book or Source : "Whitehead Torsion." Bull. Amer. Math. Soc. 72
Page and Part : ...


Read More
Date: 7-7-2021 1230
Date: 16-7-2021 1678
Date: 14-8-2021 4227

Whitehead Torsion

Let (K,L) be a pair consisting of finite, connected CW-complexes where L is a subcomplex of K. Define the associated chain complex C(K,L) group-wise for each p by setting

 C_p(K,L)=H_p(|K^p union L|,|K^(p-1) union L|)

(1)

where H denotes singular homology with integer coefficients and where |K^p| denotes the union of all cells of K of dimension less than or equal to p. Note that C_p is free Abelian with one generator for each p-cell of K-L.

Next, consider the universal covering complexes L^^ subset K^^ of L and K, respectively. The fundamental group pi_1(K) of K can be identified with the group of deck transformations of K^^ so that each sigma in pi_1(K) determines a map

 sigma:(K^^,L^^)->(K^^,L^^)

(2)

which then induces a chain map

 sigma_#:C(K^^,L^^)->C(K^^,L^^).

(3)

The chain map sigma_# turns each chain group C_p(K^^,L^^) into a module over the group ring Zpi_1(K) which is Zpi_1(K)-free with one generator for each p-cell of K-L and which is finitely generated over Zpi_1(K) due to the finiteness of K.

Hence, there is a free chain complex

 C_n(K^^,L^^)->C_(n-1)(K^^,L^^)->...->C_0(K^^,L^^)

(4)

over Zpi_1(K), the homology groups H_i(K^^,L^^) of which are zero due to the fact that |K^^| deformation retracts onto |L^^|. A simple argument shows the existence of a so-called preferred basis for each C_p(K^^,L^^) (Milnor), whereby one can define the Whitehead torsion to be the image of the torsion tauC(K^^,L^^) of the complex C(K^^,L^^) in the Whitehead quotient group Wh(pi_1(K)).

Worth noting is that the Whitehead torsion is an obvious generalization of the Reidemeister torsion, the prior of which is defined to be an Abelian group element rather than an algebraic number like the latter. Experts note that the study of Reidemeister torsion has since been subsumed in the study of Whitehead torsion (Ranicki 1997) whereas Whitehead torsion provides a fundamental tool for the examination of differentiable and combinatorial manifolds having nontrivial fundamental group.


REFERENCES:

Milnor, J. "Whitehead Torsion." Bull. Amer. Math. Soc. 72, 358-423, 1966.

Ranicki, A. "Notes on Reidemeister Torsion." 1997. https://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/torsion.pdf.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.