المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05


Bernoulli Distribution  
  
1853   04:35 مساءً   date: 16-4-2021
Author : Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B.
Book or Source : "Bernoulli Distribution." Ch. 4 in Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley,
Page and Part : pp. 31-33


Read More
Date: 11-3-2021 2038
Date: 19-2-2021 1158
Date: 7-2-2021 1137

Bernoulli Distribution

BernoulliDistribution

The Bernoulli distribution is a discrete distribution having two possible outcomes labelled by n=0 and n=1 in which n=1 ("success") occurs with probability p and n=0 ("failure") occurs with probability q=1-p, where 0<p<1. It therefore has probability density function

 P(n)={1-p   for n=0; p   for n=1,

(1)

which can also be written

 P(n)=p^n(1-p)^(1-n).

(2)

The corresponding distribution function is

 D(n)={1-p   for n=0; 1   for n=1.

(3)

The Bernoulli distribution is implemented in the Wolfram Language as BernoulliDistribution[p].

The performance of a fixed number of trials with fixed probability of success on each trial is known as a Bernoulli trial.

The distribution of heads and tails in coin tossing is an example of a Bernoulli distribution with p=q=1/2. The Bernoulli distribution is the simplest discrete distribution, and it the building block for other more complicated discrete distributions. The distributions of a number of variate types defined based on sequences of independent Bernoulli trials that are curtailed in some way are summarized in the following table (Evans et al. 2000, p. 32).

distribution definition
binomial distribution number of successes in n trials
geometric distribution number of failures before the first success
negative binomial distribution number of failures before the xth success

The characteristic function is

 phi(t)=1+p(e^(it)-1),

(4)

and the moment-generating function is

M(t) = <e^(tn)>

(5)

= sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)

(6)

= e^0(1-p)+e^tp,

(7)

so

M(t) = (1-p)+pe^t

(8)

= pe^t

(9)

= pe^t

(10)

M^((n))(t) = pe^t.

(11)

These give raw moments

= p

(12)

= p

(13)

= p.

(14)

and central moments

mu_2 = p(1-p)

(15)

mu_3 = p(1-p)(1-2p)

(16)

mu_4 = p(1-p)(3p^2-3p+1).

(17)

The mean, variance, skewness, and kurtosis excess are then

mu = p

(18)

sigma^2 = p(1-p)

(19)

gamma_1 = (1-2p)/(sqrt(p(1-p)))

(20)

gamma_2 = (6p^2-6p+1)/(p(1-p)).

(21)

To find an estimator p^^ for the mean of a Bernoulli population with population mean p, let N be the sample size and suppose n successes are obtained from the N trials. Assume an estimator given by

 p^^=n/N,

(22)

so that the probability of obtaining the observed n successes in N trials is then

 (N; n)p^n(1-p)^(N-n).

(23)

The expectation value of the estimator p^^ is therefore given by

<p^^> = sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)

(24)

= (1-p)^N(1/(1-p))^Np

(25)

= p,

(26)

so p^^ is indeed an unbiased estimator for the population mean p.

The mean deviation is given by

 MD=2p(1-p).

(27)


REFERENCES:

Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B. "Bernoulli Distribution." Ch. 4 in Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 31-33, 2000.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.