المرجع الألكتروني للمعلوماتية
القرآن الكريم وعلومه
العقائد الإسلامية
الفقه وأصوله 
الرجال والحديث 
سيرة الرسول وآله 
علوم اللغة العربية 
الأدب العربي 
الأسرة والمجتمع 
الأخلاق والأدعية 
التاريخ 
الادارة والاقتصاد 
علم الفيزياء 
علم الكيمياء 
علم الأحياء 
الرياضيات 
الهندسة المدنية 
الزراعة 
الجغرافية 
القانون 
اللغة الأنكليزية 
الأخبار 
الإعلام 
مكتبة الصور 
أقلام بمختلف الألوان 
إضاءات
مفتاح
أجوبة الإستفتاءات الشرعية
وثائقيات
تاريخ الرياضيات
الرياضيات في الحضارات المختلفة
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات | Ramanujan Continued Fractions |
 577
 05:15 مساءً
date: 12-5-2020 |
Author : Berndt, B. C. and Rankin, R. A. 
Book or Source : Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995. 
Page and Part : ...|
Read More
Date: 26-8-2020
811
Date: 19-9-2020
749
Date: 22-9-2020
3220
|
Ramanujan developed a number of interesting closed-form expressions for generalized continued fractions. These include the almost integers
 |
 |
 |
(1) |
 |
 |
 |
(2) |
 |
 |
 |
(3) |
(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), where 
is the golden ratio, its multiplicative inverse
 |
 |
![1/2[1+sqrt(5)+sqrt(2(5+sqrt(5)))]e^(-2pi/5)](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline13.gif) |
(4) |
 |
 |
 |
(5) |
 |
 |
 |
(6) |
(OEIS A091899; Ramanathan 1984), and
 |
 |
![{(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline22.gif) |
(7) |
 |
 |
 |
(8) |
(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) and its multiplicative inverse
 |
 |
![(e^(-2pi/5))/((sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)]^(1/5))-phi)](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline28.gif) |
(9) |
 |
 |
 |
(10) |
(OEIS A091900).
Other examples include the integrals
 |
 |
![1/2[zeta(2,1/4(1+sqrt(5)))-zeta(2,1/4(3+sqrt(5))]](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline34.gif) |
(11) |
 |
 |
![1/2[psi_1(1/4(1+sqrt(5)))-psi_1(1/4(3+sqrt(5)))]](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline37.gif) |
(12) |
 |
 |
 |
(13) |
 |
 |
 |
(14) |
(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), where 
is the Hurwitz zeta function and 
is the trigamma function, and
 |
 |
 |
(15) |
 |
 |
 |
(16) |
 |
 |
 |
(17) |
(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), where 
is a polygamma function.
REFERENCES:
Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.
Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.
Perron, O. "Über die Preeceschen Kettenbrüche." Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.
Preece, C. T. "Theorems Stated by Ramanujan (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.
Ramanathan, K. G. "On Ramanujan's Continued Fraction." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.
Sloane, N. J. A. Sequences A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, and A091900 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on a Continued Fraction." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.
Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.
|
|
|
|
دراسة يابانية لتقليل مخاطر أمراض المواليد منخفضي الوزن
|
|
|
|
|
|
|
اكتشاف أكبر مرجان في العالم قبالة سواحل جزر سليمان
|
|
|
|
|
|
|
المجمع العلمي ينظّم ندوة حوارية حول مفهوم العولمة الرقمية في بابل
|
|
|
