المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

الأغذية الصناعية Industrial Foods
25-9-2018
أدعية لدفع السحر والعين.
19-1-2023
سفير النبيّ في أرض مصر
15-6-2017
تأثير درجة الحرارة على انبات بذور القطن
2024-10-01
السيد منصور الطالقاني الغروي
11-2-2018
التمكين (ائتلاف القافية مع ما يدل عليه سائر البيت)
25-09-2015

Natural Logarithm of 2  
  
755   02:57 صباحاً   date: 4-3-2020
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H.
Book or Source : "Integer Relation Detection." §2.2 in Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters
Page and Part : ...


Read More
Date: 28-8-2020 1430
Date: 1-11-2020 768
Date: 6-2-2020 643

Natural Logarithm of 2

 

The natural logarithm of 2 is a transcendental quantity that arises often in decay problems, especially when half-lives are being converted to decay constants. ln2 has numerical value

 ln2=0.69314718055994530941...

(1)

(OEIS A002162).

The irrationality measure of ln2 is known to be less than 3.8913998 (Rukhadze 1987, Hata 1990).

It is not known if ln2 is normal (Bailey and Crandall 2002).

The alternating series and BBP-type formula

 eta(1)=sum_(k=1)^infty((-1)^(k-1))/k=ln2

(2)

converges to the natural logarithm of 2, where eta(x) is the Dirichlet eta function. This identity follows immediately from setting x=1 in the Mercator series, yielding

 ln2=sum_(k=1)^infty((-1)^(k+1))/k.

(3)

It is also a special case of the identity

 1/nsum_(k=1)^n(-1)^(k-1)n/k=ln2-(-1)^nPhi(-1,1,n+1),

(4)

where Phi(z,s,a) is the Lerch transcendent.

This is the simplest in an infinite class of such identities, the first few of which are

ln2 = sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(3k+1)-1/(3k+2)+1/(3k+3))

(5)

= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(5k+1)-1/(5k+2)+1/(5k+3)-1/(5k+4)+1/(5k+5))

(6)

(E. W. Weisstein, Oct. 7, 2007).

There are many other classes of BBP-type formulas for ln2, including

ln2 = 1/3sum_(k=0)^(infty)1/((-27)^k)(3/(6k+1)-2/(6k+3)-1/(6k+4))

(7)

= 1/6sum_(k=0)^(infty)1/((-27)^k)(-3/(6k+1)+9/(6k+2)+8/(6k+3)+1/(6k+4)-1/(6k+5))

(8)

= sum_(k=0)^(infty)1/((-19683)^k)((2187)/(18k+1)-(1458)/(18k+3)-(729)/(18k+4)-(81)/(18k+7)+(54)/(18k+9)+(27)/(18k+10)+3/(18k+13)-2/(18k+15)-1/(18k+16))

(9)

= 1/2sum_(k=0)^(infty)1/((-4)^k)(2/(4k+1)-1/(4k+3)-1/(4k+4))

(10)

= 1/8sum_(k=0)^(infty)1/((-8)^k)(8/(3k+1)-4/(3k+2)-1/(3k+3)).

(11)

Plouffe (2006) found the beautiful sum

 ln2=10sum_(n=1)^infty1/(n(e^(pin)+1))+6sum_(n=1)^infty1/(n(e^(pin)-1)) 
 -4sum_(n=1)^infty1/(n(e^(2pin)+1)).

(12)

A rapidly converging Zeilberger-type sum due to A. Lupas is given by

 ln2=3/4-1/8sum_(n=1)^infty(2n; n)((-1)^(n-1)(5n+1))/(16^nn(n+1/2))

(13)

(Lupas 2000; typos corrected).

The following integral is given in terms of ln2,

 int_2^infty(dx)/(xln^2x)=1/(ln2).

(14)

NaturalLogOf2

The plot above shows the result of truncating the series for ln2 after n terms.

Taking the partial series gives the analytic result

sum_(k=1)^(N)((-1)^(k+1))/k = ln2+1/2(-1)^N[psi_0(1/2(N+1))-psi_0(1+1/2N)]

(15)

= ln2+1/2(-1)^N[H_((N-1)/2)-H_(N/2)],

(16)

where psi_0(z) is the digamma function and H_n is a harmonic number. Rather amazingly, expanding about infinity gives the series

 sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/k=ln2+(-1)^N[1/(2N)+sum_(k=0)^infty((-1)^kT_k)/(4^kN^(2k))]

(17)

(Borwein and Bailey 2002, p. 50), where T_n is a tangent number. This means that truncating the series for ln2 at half a large power of 10 can give a decimal expansion for ln2 whose decimal digits are largely correct, but where wrong digits occur with precise regularity.

Ln2TangentNumbers

For example, taking N=5×10^6 gives a decimal value equal to the second row of digits above, where the sequence of differences from the decimal digits of ln2 in the top row is precisely the tangent numbers with alternating signs (Borwein and Bailey 2002, p. 49).

Beautiful BBP-type formulas for ln2 are given by

ln2 = 1/2sum_(k=0)^(infty)1/(2^k)1/(k+1)

(18)

= sum_(k=1)^(infty)1/(k·2^k)

(19)

(Bailey et al. 2007, p. 31) and

 ln2=2/3sum_(k=0)^infty1/(9^k(2k+1))

(20)

(Borwein and Bailey 2002, p. 129).

A BBP-type formula for (ln2)^2 discovered using the PSLQ algorithm is

 (ln2)^2=1/(32)sum_(k=0)^infty1/(64^k)[(64)/((6k+1)^2)-(160)/((6k+2)^2)-(56)/((6k+3)^2)-(40)/((6k+4)^2)+4/((6k+5)^2)-1/((6k+6)^2)]

(21)

(Bailey and Plouffe 1997; Borwein and Bailey 2002, p. 128).

The sum

 sum_(k=2^n)^(2^(n+1)-1)1/k=psi_0(2^(n+1))-psi_0(2^n)

(22)

has the limit

 lim_(n->infty)sum_(k=2^n)^(2^(n+1)-1)1/k=ln2

(23)

(Borwein et al. 2004, p. 10).


REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "Integer Relation Detection." §2.2 in Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 29-31, 2007.

Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.

Bailey, D. and Plouffe, S. "Recognizing Numerical Constants." Organic Mathematics. Proceedings of the Workshop Held in Burnaby, BC, December 12-14, 1995 (Ed. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, and R. Corless). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 73-88, 1997. http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/bailey/.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.

Gourdon, X. and Sebah, P. "The Constant ln2." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Log2/log2.html.

Hata, M. "Legendre Type Polynomials and Irrationality Measures." J. reine angew. Math. 407, 99-125, 1990.

Huylebrouck, D. "Similarities in Irrationality Proofs for piln2zeta(2), and zeta(3)." Amer. Math. Monthly 108, 222-231, 2001.

Lupas, A. "Formulae for Some Classical Constants." In Proceedings of ROGER-2000. 2000. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/alupas1.pdf.

Plouffe, S. "Identities Inspired from Ramanujan Notebooks (Part 2)." Apr. 2006. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf.

Rukhadze, E. A. "A Lower Bound for the Rational Approximation of ln2 by Rational Numbers." Vestnik Moskov Univ. Ser. I Math. Mekh., No. 6, 25-29 and 97, 1987. [Russian].

Sloane, N. J. A. Sequences A002162/M4074, A016730, and A059180 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Sweeney, D. W. "On the Computation of Euler's Constant." Math. Comput. 17, 170-178, 1963.

Uhler, H. S. "Recalculation and Extension of the Modulus and of the Logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 26, 205-212, 1940.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.