المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية أنواع ماشية اللحم
2024-11-05
زكاة الذهب والفضة
2024-11-05
ماشية اللحم في الولايات المتحدة الأمريكية
2024-11-05
أوجه الاستعانة بالخبير
2024-11-05
زكاة البقر
2024-11-05
الحالات التي لا يقبل فيها الإثبات بشهادة الشهود
2024-11-05


Inverse Hyperbolic Cosecant  
  
1879   11:53 صباحاً   date: 3-6-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A
Book or Source : "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 29-8-2019 1114
Date: 10-10-2019 1341
Date: 24-3-2019 2385

Inverse Hyperbolic Cosecant

 

ArcCschReal
 
 
             
  Min Max      

ArcCschReImAbs
 
 
  Min   Max    
  Re    
  Im      

The inverse hyperbolic cosecant csch^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 481), sometimes called the area hyperbolic cosecant (Harris and Stocker 1998, p. 271) and sometimes denoted cosech^(-1)z (Beyer 1987, p. 181) or arccschz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87; Jeffrey 2000, p. 124), is the multivalued function that is the inverse function of the hyperbolic cosecant. The variants Arccschz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87) and Arcschz (Harris and Stocker 1998, p. 263) are sometimes used to refer to explicit principal values. Worse yet, the notation arccschz is sometimes used for the principal value, with Arccschz being used for the multivalued function (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87). Note that in the notation csch^(-1)zcschz is the hyperbolic cosecant and the superscript -1 denotes an inverse function, not the multiplicative inverse.

The inverse hyperbolic cosecant is a multivalued function and hence requires a branch cut in the complex plane, which the Wolfram Language's convention places at (-i,i).

The principal value of csch^(-1)z is implemented in the Wolfram Language as ArcCsch[z].

It has special value

 csch^(-1)2=lnphi,

(1)

where phi is the golden ratio.

InverseHyperbolicCosecantBranchCut

The inverse hyperbolic cosecant is a multivalued function and hence requires a branch cut in the complex plane, which the Wolfram Language's convention places at the line segment (-i,i). This follows from the definition of csch^(-1)z as

 csch^(-1)z=ln(sqrt(1+1/(z^2))+1/z).

(2)

The derivative of the inverse hyperbolic cosecant is

 d/(dz)csch^(-1)z=-1/(z^2sqrt(1+1/(z^2))),

(3)

and the indefinite integral is

 intcsch^(-1)zdz 
 =zcsch^(-1)z+ln[z(1+sqrt((1+z^2)/(z^2)))]+C.

(4)

For real x, it satisfies

 csch^(-1)x={ln((1-sqrt(1+x^2))/x)   for x<0; ln((1+sqrt(1+x^2))/x)   for x>0.

(5)

The inverse hyperbolic cosecant has Puiseux series

csch^(-1)x = -lnx+ln2+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1)(2n-1)!!)/(2n(2n)!!)x^(2n)

(6)

= -lnx+ln2+1/4x^2-3/(32)x^4+5/(96)x^6+...

(7)

(OEIS A052468 and A052469) about 0, and Taylor series about infty of

csch^(-1)x = sum_(k=1)^(infty)(P_(k-1)(0))/kx^(-k)

(8)

= sum_(n=1)^(infty)((-1)^n(1/2)_(n-1))/((2n-1)(n-1)!)x^(1-2n)

(9)

= x^(-1)-1/6x^(-3)+3/(40)x^(-5)-5/(112)x^(-7)+...

(10)

(OEIS A055786 and A002595), where P_k(x) is a Legendre polynomial and (1/2)_n is a Pochhammer symbol.


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 86-89, 1972.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.

Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.

Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed.Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequences A052468, A052469, A055786 and A002595/M4233 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.

Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Hyperbolic Functions." §6.8 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.