المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

قطوع مخروطية Conic Sections
25-11-2015
ذبيح اللّه بن هداية اللّه.
20-7-2016
يوم الفرقان بين الحق والباطل - معركة بدر
8-10-2014
المصادر الشيعيّة في أسباب النزول
2024-10-14
عرق السوس​ Glycyrrhiza glabra L
22-1-2021
Pure Substances and Mixtures
9-6-2019

Wigner 6j-Symbol  
  
2531   01:41 صباحاً   date: 16-4-2019
Author : Biedenharn, L. C. and Louck, J. D
Book or Source : The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.
Page and Part : ...


Read More
Date: 11-6-2019 1112
Date: 22-4-2019 1709
Date: 14-10-2019 1324

Wigner 6j-Symbol

 

The Wigner 6j-symbols (Messiah 1962, p. 1062), commonly simply called the 6j-symbols, are a generalization of Clebsch-Gordan coefficients and Wigner 3j-symbol that arise in the coupling of three angular momenta. They are variously called the "6j symbols" (Messiah 1962, p. 1062) or 6-j symbols (Shore and Menzel 1968, p. 279).

The Wigner 6j-symbols are returned by the Wolfram Language function SixJSymbol[{j1j2j3}{j4j5j6}].

Let tensor operators T^((k)) and U^((k)) act, respectively, on subsystems 1 and 2 of a system, with subsystem 1 characterized by angular momentum j_1 and subsystem 2 by the angular momentum j_2. Then the matrix elements of the scalar product of these two tensor operators in the coupled basis J=j_1+j_2 are given by

(1)

where  is the Wigner 6j-symbol and tau_1 and tau_2 represent additional pertinent quantum numbers characterizing subsystems 1 and 2 (Gordy and Cook 1984).

The 6j symbols are denoted {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3} and are defined for integers and half-integers j_1j_2j_3J_1J_2J_3 whose triads (j_1j_2j_3)(j_1J_2J_3)(J_1j_2J_3), and (J_1J_2j_3) satisfy the following conditions (Messiah 1962, p. 1063).

1. Each triad satisfies the triangular inequalities.

2. The sum of the elements of each triad is an integer. Therefore, the members of each triad are either all integers or contain two half-integers and one integer.

If these conditions are not satisfied, {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}=0.

The 6j-symbols are invariant under permutation of their columns, e.g.,

 {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}={j_2 j_1 j_3; J_2 J_1 J_3}

(2)

and under exchange of two corresponding elements between rows, e.g.,

 {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}={J_1 J_2 j_3; j_1 j_2 J_3}

(3)

(Messiah 1962, pp. 1063-1064).

The 6j-symbols can be computed using the Racah formula

(4)

where Delta(abc) is a triangle coefficient,

(5)

and the sum is over all integers t for which the factorials in f(t) all have nonnegative arguments (Wigner 1959; Messiah 1962, p. 1065; Shore and Menzel 1968, p. 279). In particular, the number of terms is equal to sigma+1, where sigma is the smallest of the twelve numbers

 j_1+j_2-j_3 j_1+J_2-J_3 J_1+j_2-J_3 J_1+J_2-j_3; j_2+j_3-j_1 J_2+J_3-j_1 j_2+J_3-J_1 J_2+j_3-J_1; j_3+j_1-j_2 J_3+j_1-J_2 J_3+J_1-j_2 j_3+J_1-J_2

(6)

(Messiah 1962, p. 1064).

The 6j symbols satisfy the so-called Racah-Elliot and orthogonality relations,

sum_(x)(-1)^(2x)(2x+1){a b x; a b f}=1

(7)

sum_(x)(-1)^(a+b+x)(2x+1){a b x; b a f}

(8)

 =delta_(fa)sqrt((2a+1)(2b+1))

(9)

sum_(x)(2x+1){a b x; c d f}{c d x; a b g}=(delta_(fg))/(2f+1)

(10)

sum_(x)(-1)^(f+g+x)(2x+1){a b x; c d f}{c d x; b a g}

(11)

 ={a d f; b c g}

(12)

sum_(x)(-1)^(a+b+c+d+e+f+g+h+x+j)(2x+1){a b x; c d g}×{c d x; e f h}{e f x; b a j}

(13)

 ={j h j; e a d}{g h j; f b c}

(14)

(Messiah 1962, p. 1065).

Edmonds (1968) gives analytic forms of the 6j-symbol for simple cases, and Shore and Menzel (1968) and Gordy and Cook (1984) give

{a b c; 0 c b} =

(15)

{a b c; 1 c b} =

(16)

{a b c; 2 c b} =

(17)

where

s = a+b+c

(18)

X = b(b+1)+c(c+1)-a(a+1)

(19)

(Edmonds 1968; Shore and Menzel 1968, p. 281; Gordy and Cook 1984, p. 809). Note that since a+b+c must be an integer, (-1)^s=(-1)^(-s), so replacing the definition of s with its negative above gives an equivalent result.

Messiah (1962, p. 1066) gives the additional special cases

{j j+1/2 1/2; J J+1/2 g+1/2} =

(20)

{j j+1/2 1/2; J+1/2 J g} =

(21)

for |j-J|<=g<=j+J.

The Wigner 6j-symbols are related to the Racah W-coefficients by

 (-1)^(a+b+c+d)W(abcd;ef)={a b c; d e f}

(22)

(Messiah 1962, p. 1062; Shore and Menzel 1968, p. 279).


REFERENCES:

Biedenharn, L. C. and Louck, J. D. The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.

Biedenharn, L. C. and Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.

Carter, J. S.; Flath, D. E.; and Saito, M. The Classical and Quantum 6j-Symbols. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.

Edmonds, A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd ed., rev. printing. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.

Gordy, W. and Cook, R. L. Microwave Molecular Spectra, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 807-809, 1984.

Messiah, A. "Racah Coefficients and '6j' Symbols." Appendix C.II in Quantum Mechanics, Vol. 2. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 567-569 and 1061-1066, 1962.

Racah, G. "Theory of Complex Spectra. II." Phys. Rev. 62, 438-462, 1942.

Rotenberg, M.; Bivens, R.; Metropolis, N.; and Wooten, J. K. The 3j and 6j Symbols. Cambridge, MA: MIT Press, 1959.

Shore, B. W. and Menzel, D. H. Principles of Atomic Spectra. New York: Wiley, pp. 279-284, 1968.

Wigner, E. P. Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, expanded and improved ed. New York: Academic Press, 1959.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.