مثال: إذا كانت دالة التكلفة الكلية على الصورة التالية:
TC=4Q2 - 24Q + 100
المطلوب:
1- أوجد حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة الكلية (TC) أقل ما يمكن.
2ـ أوجد حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة المتوسطة (AC) أقل ما يمكن.
3- عند حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة المتوسطة (AC) أقل ما يمكن وأوجد قيمة كل من(MC) ،(AC)
الحل:
1- دالة التكلفة الكلية (TC):
TC=4Q2 – 24Q + 100
- المشتقة الأولى:
TC' =8Q - 24
- مساواة المشتقة الأولى بالصفر
8Q - 24 = 0
- المشتقة الثانية:
TC" = 8
- حيث أن المشتقة الثانية موجبة، وبذلك أن لدالة التكلفة الكلية نهاية صغرى عندما 3=Q
2 ـ دالة التكلفة المتوسطة (AC):
حيث ان إشارة المشتقة الثانية موجبة وبذلك يكون للدالة نهاية صغرى عند ((Q=5
مما سبق نجد أنه عند حجم الإنتاج الذي يحقق أقل تكلفة متوسطة نجد أن (AC = MC)
مثال: إذا كانت دالة التكلفة الكلية على الصورة:
TC = 3Q3 - 90Q2 + 1500Q + 9000
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج (Q) الذي يجعل متوسط التكلفة المتغيرة الإجمالية أقل مما يمكن.
الحل:
- دالة التكلفة الكلية هي:
TC = 3Q3 - 90Q2 + 1500Q + 9000
وأن 9000 تمثل التكلفة الثانية حيث أن:
TC = FC + TVC
حيث أن المشتقة الثانية موجبة (+) وبذلك تتحقق النهاية الصغرى لمتوسط التكلفة المتغيرة الإجمالية عند إنتاج 15 وحدة.
مثال: إذا كانت التكلفة الثابتة هي:
FC = 50000
- وكانت التكلفة المتغيرة للوحدة (VC)
VC = (1500 + 0.2Q)
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة المتوسطة (AC) أقل ما يمكن. وعند هذا الحجم من الإنتاج أوجد قيمة كل من (MC) ،(AC)
الحل:
ــ حتى يمكن إيجاد التكلفة المتوسطة لابد من إيجاد التكلفة الكلية (TC) كما يلي:
TC = FC + TVC
FC + VC (Q) =
+ (1500 +0,2Q) Q 50000 =
TC = 50000 + 1500Q + 0.2Q2
نجد أنه عند حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة المتوسطة أقل ما يمكن نجد أن
AC = MC
مثال في ضوء البيانات الآتية:
- التكلفة الثابتة (fc) = 8 مليون دولار.
- التكلفة المتغيرة للوحدة (vc) بالمليون دولار.
VC = 0.5 + 0.02Q
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج الذي يجعل التكلفة المتوسطة أقل ما يمكن وعند هذا الحجم من الإنتاج أوجد قيمة كل من MC, AC .
الحل:
- التكلفة الكلية (TC) على الصورة
TC = FC + TVC
مثال: إذا كانت دالة الطلب على إحدى السلع تتحدد بالعلاقة:
P = 80 - 0.5Q
وكانت دالة التكاليف الكلية تتحدد بالعلاقة
TC = 160 + 60Q
المطلوب:
أوجد حجم الإنتاج الذي يحقق أكبر ربح ممكن، وما هو مقدار هذا الربح، وما هو السعر الذي ينبغي أن تباع به هذه السلعة.
الحل:
- دالة الإيراد الكلي (TR):
TR = P × Q = (80 - 0.5Q) Q
TR = 80Q – 0.5Q2
- دالة التكلفة (TC):
حيث أن المشتقة الثانية لدالة الربح سالبة يكون للدالة نهاية عظمى عندما 20=Q
- عندما (Q=20) فإن قيمة الربح:
= 0.5(20)2 +20 (20) – 160 π
40 = 160 - 400 + 200 - =
- عندما (20=Q) فإن سعر بيع الوحدة
P = 80 – 0.5(20) = 70
- عند حجم الإنتاج الأمثل الذي يحقق أقصى ربح فإن:
