القاعدة الثامنة: الدالة الضمنية
رأينا فيما سبق من الدوال أن العلاقة بين المتغير المستقل (x) والمتغير التابع أو الدالة (y) علاقة صريحة حيث يكون من السهل مباشرة إيجاد قيمة وحيدة للدالة (y) بدلالة أي قيمة يأخذها المتغير المستقل (x) ولكن قد يحدث في بعض الأحيان أن تكون هذه العلاقة غير صريحة حيث يكون هناك تداخل بين المتغير المستقل والمتغير التابع فتسمى الدالة بالدالة الضمنية.
وتكون الدالة في هذه الحالة على الصورة: f (x ,y) = c
حيث ان C : مقدار ثابت
ولإيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة تجرى عملية الاشتقاق بالنسبة إلى (x) لجميع المتغيرات على طرفي المعادلة كما في الأمثلة التالية:
مثال: أوجد المشتقة الأولى للدالة التالية:
22x2 + y2 = 5
الحل:
الحل:
في هذه الحالة أيضاً يتم اجراء عملية الاشتقاق لجميع المتغيرات بالنسبة لـ (x) ملاحظة أن مشتقة المتغير التابع (y n) بالنسبة لـ (x) كما يلي:
القاعدة التاسعة: الدالة العكسية
إذا كانت (y) دالة في (x) فإن الدالة تأخذ الصورة: (y = f (x.
فإذا أمكن استنتاج أن (x) دالة في (y) تصبح الدالة على الصورة: (x =h (y
في هذه الحالة يقال أن الدالة (x =h (y دالة عكسية وبالتالي فإن المشتقة الأولى للدالة العكسية هي Dx / dy كما يمكن استنتاج أن:
أي أن: مشتقة الدالة العكسية = مقلوب مشتقة الدالة الأصلية.
مثال: أوجد المشتقة الأولى للدالة العكسية للدوال التالية:
من هذا المثال يتضح ان مشتقة الدالة العكسية هي مقلوب مشتقة الدالة الاصلية:
حل آخر: بتربيع الطرفين:
