A bounded lattice is an algebraic structure , such that  is a lattice, and the constants  satisfy the following:

1. for all ,  and ,

2. for all ,  and .

The element 1 is called the upper bound, or top of  and the element 0 is called the lower bound or bottom of .

There is a natural relationship between bounded lattices and bounded lattice-ordered sets. In particular, given a bounded lattice, , the lattice-ordered set  that can be defined from the lattice  is a bounded lattice-ordered set with upper bound 1 and lower bound 0. Also, one may produce from a bounded lattice-ordered set  a bounded lattice  in a pedestrian manner, in essentially the same way one obtains a lattice from a lattice-ordered set. Some authors do not distinguish these structures, but here is one fundamental difference between them: A bounded lattice-ordered set  can have bounded subposets that are also lattice-ordered, but whose bounds are not the same as the bounds of ; however, any subalgebra of a bounded lattice  is a bounded lattice with the same upper bound and the same lower bound as the bounded lattice .

For example, let {a,b,c}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BoundedLattice/Inline21.gif" style="height:15px; width:74px" />, and let  be the power set of , considered as a bounded lattice:

1. {emptyset,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BoundedLattice/Inline24.gif" style="height:15px; width:256px" />

2.  and 

3.  is union: for , 

4.  is intersection: for , .

Let {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BoundedLattice/Inline33.gif" style="height:15px; width:58px" />, and let  be the power set of , also considered as a bounded lattice:

1. {emptyset,{a},{b},Y}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BoundedLattice/Inline36.gif" style="height:15px; width:115px" />

2.  and 

3.  is union: for , 

4.  is intersection: for , .

Then the lattice-ordered set  that is defined by setting  iff  is a substructure of the lattice-ordered set  that is defined similarly on . Also, the lattice  is a sublattice of the lattice . However, the bounded lattice  is not a subalgebra of the bounded lattice , precisely because .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم حفظ النظام ينهي استعداداته الخاصة بحفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

العتبة العباسية المقدسة تنشر أكاليل الزهور ومظاهر الفرح بمناسبة ذكرى ولادة أمير المؤمنين (عليه السلام)

مجمع الشيخ الكليني يواصل تحضيراته لاستقبال المشاركات في حفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

وصول المشاركات في فعاليات مهرجان روح النبوة الثقافي النسوي العالمي الثامن إلى كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث لجسمك عند تناول الوجبات السريعة يوميا؟

لصحة عظام المرأة.. الشاي أفضل أم القهوة؟

لبناء العضلات وإنقاص الوزن.. ما أفضل توقيت لتناول البيض؟

أطعمة صحية تساعد على التعافي من "الإنفلونزا الخارقة"

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

تجربة جديدة: الأسفلت المدعوم بالطحالب يقاوم الحفر ويقلل الانبعاثات الكربونية

تسريبات تكشف ملامح أول هاتف قابل للطي من "أبل"

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

المزيد