تعريف النهاية :  DENFINITION OF LIMIT

نعرف نهاية الدالة f(x) عندما تقترب x من قيمة a الموجودة داخل مجال تعريف الدالة dom (f) الذي يحوي المجال المفتوح من اليمين  (a-h , a)، او من الشمال (a,a+h) لكل قيم 0≺h. ، حيث إن قيمة الدالة تقترب من قيمة L ونكتب : ونقدم التعريف الرياضي البسيط التالي :

لكل قيم ، يوجد العدد الحقيقي الموجب ، وأن لكل قيم x التي تحقق يتضح التعريف من خلال الشكل (1-1) التالي:

شكل (1-1) : يوضح تعريف النهاية للدالة عند القيمة الحقيقية 

ان التعريف الوارد يوضح أن العدد الحقيقي L تكون غاية الدالة f(x) عندما تقترب x من قيمة a ، إذا استطعنا أن نجد العدد الحقيقي الذي يحقق حيث إن لكل قيم العدد الحقيقي الموجب فإن يتحقق دائماً.

يمكن ملاحظة ثلاث حالات مهمة للنهاية عند النقطة المحددة ، وهي :

الحالة الأولى : منحنى الدالة f يمر بالنقطة البيانية (a, L) ، حيث إن والمنحنى يشمل النقطة.

الحالة الثانية : منحنى الدالة f يلمس النقطة البيانية (a, L)، حيث إن ، والمنحنى لا يشملها.

الحالة الثالثة : منحنى الدالة f لا يمر بالنقطة البيانية (a, L) ، لأن f(a) غير موجودة ، رغم أن ، والمنحنى يلمس النقطة ولا يشملها.

 شكل (2-1) يوضح الحالات الثلاث المهمة لوجود النهاية

مثال (1) : باستخدام التعريف بين أن :

الحل :

لنعتبر وجود عدد حقيقي موجب ، إذن لدينا بحيث إن إذا أخذنا : ، وهو ما يؤكد أن : والذي يؤكد بأن النهاية للدالة موجودة ووحيدة ، ويكافئ أن :

مثال (2) : باستخدام التعريف اثبت أن : 

الحل :

مثال (3) : باستخدام التعريف ، ادرس وجود النهاية للدالة:

الحل :

من خلال رسم المنحنى الممثل للدالة ، نلاحظ أن القيم للنهاية بجوار الصفر من اليمين والشمال تختلف عن بعضها البعض، وهو ما يعني أن النهاية غير موجودة عند 0 = x.

شكل (3-1)

يمكن من خلال استخدام التعريف ، أن نجد عدداً حقيقياً موجباً بحيث إن : و هو ما يؤكد أن النهاية غير موجودة للدالة f(x) عند 0 = x.

مثال (4) : باستخدام التعريف ، أثبت أن :

الحل :

لكل عدد حقيقي موجب وهو ما يؤكد وجود عدد حقيقي .. والذي يجعل أن المتراجحة تتحقق دائماً ، والذي يعني أن : وهو المطلوب إثباته.

مثال (5) : باستخدام التعريف اثبت أن :

الحل :

مثال (6) : باستخدام التعريف اثبت أن :

الحل :

مثال (7) : باستخدام التعريف أثبت أن :

الحل :

من خلال هذه الأمثلة تتضح عندنا بعض النتائج ، والتي ندرجها في خواص النهايات.