المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
ميعاد زراعة الجزر
2024-11-24
أثر التأثير الاسترجاعي على المناخ The Effects of Feedback on Climate
2024-11-24
عمليات الخدمة اللازمة للجزر
2024-11-24
العوامل الجوية المناسبة لزراعة الجزر
2024-11-24
الجزر Carrot (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-24
المناخ في مناطق أخرى
2024-11-24


Logistic Map--r=4  
  
1130   04:35 مساءً   date: 1-9-2021
Author : MathPages.
Book or Source : "Closed Forms for the Logistic Map." http://www.mathpages.com/home/kmath188.htm.
Page and Part : ...


Read More
Date: 12-10-2021 902
Date: 17-10-2021 1649
Date: 18-9-2021 1049

Logistic Map--r=4

LogisticEquation4

With r=4, the logistic map becomes

 x_(n+1)=4x_n(1-x_n),

(1)

which is equivalent to the tent map with mu=1. The first 50 iterations of this map are illustrated above for initial values a_0=0.42 and 0.71.

The solution can be written in the form

 x_n=1/2{1-f[r^nf^(-1)(1-2x_0)]},

(2)

with

 f(x)=cosx

(3)

and f^(-1)(x)=cos^(-1)x its inverse function (Wolfram 2002, p. 1098). Explicitly, this then gives the three equivalent forms

x_n = 1/2{1-cos[2^ncos^(-1)(1-2x_0)]}

(4)

= 1/2{1-cosh[2^ncosh^(-1)(1-2x_0)]}

(5)

= -sinh^2[2^(n-1)cosh^(-1)(1-2x_0)].

(6)

To investigate the equation's properties, let

 x=sin^2(1/2piy)=1/2[1-cos(piy)]

(7)

 sqrt(x)=sin(1/2piy)

(8)

 y=2/pisin^(-1)(sqrt(x)),

(9)

so

 (dy)/(dx)=2/pi1/(sqrt(1-x))1/2x^(-1/2)=1/(pisqrt(x(1-x))).

(10)

Manipulating (7) gives

sin^2(1/2piy_(n+1)) = 41/2[1-cos(piy_n)]{1-1/2[1-1/2(1-cos(piy_n))]}

(11)

= 2[1-cos(piy=1-cos^2(piy_n)sin^2(piy_n),

(12)

so

 1/2piy_(n+1)=+/-y_n+spi

(13)

 y_(n+1)=+/-2y_n+1/2s.

(14)

But y in [0,1]. Taking y_n in [0,1/2], then s=0 and

 y_(n+1)=2y_n.

(15)

For y in [1/2,1]s=1 and

 y_(n+1)=2-2y_n.

(16)

Combining gives

 y_(n+1)={2y_n   for y_n in [0,1/2]; 2-2y_n   for y_n in [1/2,1],

(17)

which can be written

 y_(n+1)=1-2|x_n-1/2|,

(18)

which is just the tent map with mu=1, whose natural invariant in y is

 rho(y)=1.

(19)

Transforming back to x therefore gives

rho(x) = |(dy)/(dx)|rho(y(x))

(20)

= 2/pi1/(sqrt(1-x))1/2x^(-1/2)

(21)

= 1/(pisqrt(x(1-x))).

(22)

This can also be derived from

 rho(x)=lim_(N->infty)1/Nsum_(i=1)^Ndelta(x_i-x)=1/(pisqrt(x(1-x))),

(23)

where delta(x) is the delta function.


REFERENCES:

MathPages. "Closed Forms for the Logistic Map." http://www.mathpages.com/home/kmath188.htm.

 Jaffe, S. "The Logistic Map: Computable Chaos." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/579/.

Whittaker, J. V. "An Analytical Description of Some Simple Cases of Chaotic Behavior." Amer. Math. Monthly 98, 489-504, 1991.

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1098, 2002.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.