حل معادلة شرودنجر

بإهمال الحركة الانتقالية للجزيئة نبحث المعادلة الآتية:

..................(1)

حيث E تمثل طاقة الجزيئة الداخلية الدورانية والاهتزازية وفي ما يلي سنستبدل الدالة χ₂ بالدالة χ ومعلوم ان المقصود هو χ₂ ويمكن كتابة معادلة شرودنجر (1) بالصيغة:

......................(2)

ويمكن حل المعادلة (2) بالاحداثيات الكروية القطبية بفصل المتغيرات وكتابة الحل كحاصل ضرب ثلاث دوال:

..............(3)

بتعويض المعادلة (3) في المعادلة (2) نصل الى:

....................(4)

حيث اصبحت المعادلة جمع حدود مستقلة وكل حد يحتوي متغير واحد فقط ولكي تكون ممكنة يجب ان يساوي كل حد مقدارا ثابتا ولذلك ناخذ الحد الاول مساويا الى الثالث α والحد الاخير مساويا الى α –  ويجب ان تصح هذه العلاقة: α = - m² حيث m عدد حقيقي وعندئذ يكون الحل للجزء الثالث بالشكل:

ولان الدالة الموجية يجب ان تكون احادية القيمة فيجب ان يكون لها نفس القيمة بعد اضافة π2 لذلك يجب ان ياخذ العدد m القيم الصحيحة التالية:

وبعد قسمة المعادلة (4) على sin²θ نحصل على التعبير:

..................(5)

ولكي تتحقق المعادلة (5) يجب ان تصح العلاقة:

...............(6)

وايضا تصح العلاقة:

................(7)

ان المعادلة (6) تحتوي المتغير r فقط والمعادلة (7) تضم المتغير r فقط ويمكن حل المعادلة (7) بواسطة المتوالية:

حيث / دليل المتوالية و (β= l (l +1 وm دليل وليس اس. ان الدوال P_l تدعى متعددة حدود ليجندر واذا وضعنا cos θ = u نصل الى:

حيث:

ويتحقق الشرط:

حيث / العدد الكمي للزخم الزاوي وتصبح الان المعادلة (6) بالشكل:

....................(8)

ان المعادلة (8) هي المعادلة النصف قطرية والتي يمكن ايجاد حلها بعد معرفة الشكل الصريح للجهد (V(r ويمكن وضعها بالشكل:

....................(9)