المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

البروتينات المضادة للجراثيم Antimicrobial Proteins
23-5-2017
الأصوات (النطق والكتابة)
14-2-2019
Integer Function
20-8-2020
كيفية تقسيم الخمس
2024-07-09
عائلة الحلم الأحمر الكاذب Tenuipalpidae
9-7-2021
منتخب من رسالة الصادق إلى جماعة شيعته
16-10-2015

von Staudt-Clausen Theorem  
  
523   01:17 صباحاً   date: 13-10-2020
Author : Conway, J. H. and Guy, R. K.
Book or Source : The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag
Page and Part : ...


Read More
Date: 11-1-2021 758
Date: 23-8-2020 1361
Date: 4-5-2020 740

von Staudt-Clausen Theorem

The von Staudt-Clausen theorem, sometimes also known as the Staudt-Clausen theorem (Carlitz 1968), states that

 B_(2n)=A_n-sum_(p_k; (p_k-1)|2n)1/(p_k),

(1)

where B_(2n) is a Bernoulli number, A_n is an integer, and the p_ks are the primes satisfying (p_k-1)|(2n), i.e., p_k-1 divides 2n.

For example, for n=1, the primes included in the sum are 2 and 3, since (2-1)|2 and (3-1)|2, giving

 B_2=1/6=1-(1/2+1/3).

(2)

Similarly, for n=6, the included primes are (2, 3, 5, 7, 13), since (1, 2, 4, 6, 12) divide 12=2·6, giving

 B_(12)=-(691)/(2730)=1-(1/2+1/3+1/5+1/7+1/(13)).

(3)

The first few values of A_n for n=1, 2, ... are 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, ... (OEIS A000146), and the lists of primes appearing in successive sums are 2, 3; 2, 3, 5; 2, 3, 7; 2, 3, 5; 2, 3, 11; ... (OEIS A080092).

The theorem was rediscovered by Ramanujan (Hardy 1999, p. 11) and can be proved using p-adic Numbers.


REFERENCES:

Carlitz, L. "Bernoulli Numbers." Fib. Quart. 6, 71-85, 1968.

Clausen, T. "Theorem." Astron. Nach. 17, 351-352, 1840.

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 109, 1996.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Theorem of von Staudt" and "Proof of von Staudt's Theorem." §7.9-7.10 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 90-93, 1979.

Rado, R. "A New Proof of a Theorem of V. Staudt." J. London Math. Soc. 9, 85-88, 1934.

Rado, R. "A Note on the Bernoullian Numbers." J. London Math. Soc. 9, 88-90, 1934.

Sloane, N. J. A. Sequences A000146/M1717 and A080092 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Staudt, K. G. C. von. "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend." J. reine angew. Math. 21, 372-374, 1840.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.