المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية الماشية في روسيا الفيدرالية
2024-11-06
تربية ماشية اللبن في البلاد الأفريقية
2024-11-06
تربية الماشية في جمهورية مصر العربية
2024-11-06
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06


Newton,s Iteration  
  
1684   02:00 صباحاً   date: 3-9-2019
Author : Wolfram, S.
Book or Source : A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media
Page and Part : ...


Read More
Date: 9-9-2019 2466
Date: 25-3-2019 1194
Date: 19-7-2019 1518

Newton's Iteration

 

Newton's iteration is an algorithm for computing the square root sqrt(n) of a number n via the recurrence equation

 

 x_(k+1)=1/2(x_k+n/(x_k)),

(1)

where x_0=1. This recurrence converges quadratically as lim_(k->infty)x_k.

Newton's iteration is simply an application of Newton's method for solving the equation

 x^2-n=0.

(2)

For example, when applied numerically, the first few iterations to Pythagoras's constant sqrt(2)=1.4142... are 1, 1.5, 1.41667, 1.41422, 1.41421, ....

The first few approximants x_1x_2, ... to sqrt(n) are given by

 1,1/2(1+n),(1+6n+n^2)/(4(n+1)),(1+28n+70n^2+28n^3+n^4)/(8(1+n)(1+6n+n^2)),....

(3)

These can be given by the analytic formula

x_k = sqrt(n)[1+2/(((1+sqrt(n))/(1-sqrt(n)))^(2^k)-1)]

(4)

= sqrt(n)coth(2^ktanh^(-1)(sqrt(n))).

(5)

These can be derived by noting that the recurrence can be written as

 (x_k-sqrt(n))/(x_k+sqrt(n))=((x_(k-1)-sqrt(n))/(x_(k-1)+sqrt(n)))^2,

(6)

which has the clever closed-form solution

 (x_k-sqrt(n))/(x_k+sqrt(n))=((1-sqrt(n))/(1+sqrt(n)))^(2^k).

(7)

Solving for x_k then gives the solution derived above.

The following table summarizes the first few convergents for small positive integer n

n OEIS x_1x_2, ...
1   1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2 A001601/A051009 1, 3/2, 17/12, 577/408, 665857/470832, ...
3 A002812/A071579 1, 2, 7/4, 97/56, 18817/10864, 708158977/408855776, ...

REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A001601/M3042, A002812/M1817, A051009, A071579 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 913, 2002.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.