المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

مناخ خلية هادلي Hadley Cell Climate
2024-11-16
تصنيف طرق التحليل التقليدية
2024-02-05
What is a complex ion?
26-2-2019
عيوب ومشكلات الخط العربي
27-7-2016
أثر الغلاف الجوي على الإشعاع الشمسي- الامتصاص
16-3-2022
نظام الحكم والعهد الإقطاعي الأول.
2024-02-23

Laplace,s Equation--Spherical Coordinates  
  
2043   03:23 مساءً   date: 21-7-2018
Author : Morse, P. M. and Feshbach, H
Book or Source : Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill
Page and Part : ...

Laplace's Equation--Spherical Coordinates

In spherical coordinates, the scale factors are h_r=1h_theta=rsinphih_phi=r, and the separation functions are f_1(r)=r^2f_2(theta)=1f_3(phi)=sinphi, giving a Stäckel determinant of S=1.

The Laplacian is

(1)

To solve Laplace's equation in spherical coordinates, attempt separation of variables by writing

 F(r,theta,phi)=R(r)Theta(theta)Phi(phi).

(2)

Then the Helmholtz differential equation becomes

(3)

Now divide by RThetaPhi,

(4)

(5)

The solution to the second part of (5) must be sinusoidal, so the differential equation is

(6)

which has solutions which may be defined either as a complex function with m=-infty, ..., infty

(7)

or as a sum of real sine and cosine functions with m=-infty, ..., infty

(8)

Plugging (6) back into (7),

(9)

The radial part must be equal to a constant

(10)

(11)

But this is the Euler differential equation, so we try a series solution of the form

(12)

Then

(13)

(14)

(15)

This must hold true for all powers of r. For the r^c term (with n=0),

 c(c+1)=l(l+1),

(16)

which is true only if c=l,-l-1 and all other terms vanish. So a_n=0 for n!=l-l-1. Therefore, the solution of the R component is given by

(17)

Plugging (17) back into (◇),

(18)

(19)

which is the associated Legendre differential equation for x=cosphi and m=0, ..., l. The general complex solution is therefore

(20)

where

(21)

are the (complex) spherical harmonics. The general real solution is

(22)

Some of the normalization constants of P_l^m can be absorbed by S_m and C_m, so this equation may appear in the form

(23)

where

 Y_l^(m(o))(theta,phi)=P_l^m(cosphi)sin(mtheta)

(24)

(25)

are the even and odd (real) spherical harmonics. If azimuthal symmetry is present, then Theta(theta) is constant and the solution of the Phi component is a Legendre polynomial P_l(cosphi). The general solution is then

(26)

 


REFERENCES:

Byerly, W. E. An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, p. 244, 1959.

Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 27, 1988.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 514 and 658, 1953.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.