‏على الرغم من ان المنطق القضي يستعمل هنا (وفي كثير من الكتب) فمن الاسماء البدايلة هي التفاضل القضي Propositional calculus ‏والتفاضل الجملي ‌sentential calculus وفي ضوء المشاكل المتعلقة

‏بالفرضيات فقد يكون الأخير هو الاسم المفضل. وسنتكلم بالتأكيد في هذه الفقرة عن الجمل لاعن القضيات.

‏اننا معينون هنا بالعلاقات التي تربط الجمل، وخاصة العلاقات بين الجمل المعقدة، بغض النظر عن البنية الداخلية للجمل نفسها. ففي مثال في ٨ ‏- ١ ‏لدينا الجملتان: جون في مكتبه، و: جون في البيت، والمعلومات القائلة ان إحديهما (على الأقل) صحيحة. فبما ان الثانية ‏مخطوءة، نستنتج ان الأولى صحيحة. ويمكن ان نصل الى هذا الاستنتاج بغض النظر عن شكل الجمل نفسها. فمن جملة: إما ان ‏جون في مكتبه أو أن الحيتان أسماك، نستطيع ان نستنتج: جون في مكتبه، إذا كانت: الحيتان أسماك، مخطوءة (وحقيقة اننا من غير ‏المحتمل ان نقول هذا، غير مهم بالنسبة للتحليل المنطقي). فبدلاً إذن من إستعمال الجمل الفعلية، يمكن ان نستعمل الرموز مثل: الحروف ب، د، ل (المتغيرات الجملية) لتمثيل الجمل. نحتاج أيضاً الى رموز للرابطات المنطقية:

ص207

N           نفي           (ليس)

&           عطف          (و)

V            فصل               (أو الشاملة)

←          تضمين      (اذا....... إذن)

‏///            تساوٍ        (إذا وفقط إذا..... إذن)

‏بهذا نستطيع ان نرمز ليس فقط (ب) و (د) و (ب) أو (د)، الخ (كما في: ب  & ‏د، ب v  ‏د)، بل جملا في غاية التعقيد. فالاستدلال أعلاه ‏يمكن تمثيله بـ (ب v  ‏د) & N د ) ← ب، التي تقول: إذا كان: ب - أو- د و: ليس - د، إذن ب. الأقواس هنا مهمة لتبيان البنية، إذ ان من الواضح ان: ب - أو- د و: ليس - د، تختلف عن: ب أود - و- ليس ‏- د، التي يمكن تبيانها بالرمز: ب v (د & N د). ويوجد غموض مماثل في: جون وبل أو فريد. (هناك قوانين تسمح لنا بالاستغناء عن بعض هذه الأقواس، إلا ان المعادلات أسهل قراءة بوجودها. ) بهذا يصبح واضحاً أننا بحاجة الى قوانين التشكيل، لتشكيل هذه الجمل الأكثر ‏تعقيداً، وأن الرابطات المنطقية لا تقوم بين الجمل البسيطة ب، د، الخ فقط، بل بين الجمل المزدوجة أيضا. وهذا جميعه جزء من النحو ‏المنطقي.

‏نحتج أيضأ لتعريف الروابط connectives، (وهذا ما نهتم به في حقل علم الدلالة المنطقي). وسنتذكر اننا كنا مهتمين بصحة أو خطأ الجمل البسيطة، وكذلك، في الواقع، بصحة أو خطأ الجمل البسيطة، وكذلك، في الواقع، بصحة او خطأ الجمل المزدوجة ضمن علاقتها ‏بصحة او خطأ الجمل البسيطة المكونة منها. نفترض هنا ان كل جملة هي اما صحيحة أو مخطوءة - أي يمكن ان نضفي عليها قيمة الصحة:

ص208

‏صح أو خطأ بالرمزين ص وخ. فان أخذنا قيمة الصحة للجمل البسيطة، استطعنا ان نستنتج قيمة الحقيقة لأية جملة مزدوجة بشرط ان نعرف بعض الروابط.

‏يصبح الأن ممكنا ان نضع جداول الصحة لكل رابط، م يشمل هذا ما هي قيمة الصحة للجملة المزدوجة بالعلاقة بقيمة الصحة للجملة ‏البسيطة المكونة منها. فبالنسبة لـ: &  ‏(و) مثلا، تكون الجمل المزدوجة صحيحة فقط إذا كانت الجمل البسيطة صحيحة. نستطيع إذن أن نحدد جدول الصحة للعاطف & ‏بما يلي:

ب     د                 ب & د

‏ص  ص                  ص

ص  خ                     خ

خ  ص                     خ

خ  خ                       خ

[ص = صحيح، خ = خطأ]

يبين السطر الأول انه إذا كانت الجملتان البسيطتان ب ود صحيحتين، تكون الجملة المزدوجة صحيحة. وترينا السطور الثلاثة التالية انه إذا كانت إما ب أود أوكلتاهما، مخطوءة، كانت الجملة المزدوجة مخطوءة. ويتماشى هذا بشكل عام مع الاستعمال الاعتيادي لـ و، ويمكن القول على كل حال، اننا قد نقول في اللغة الاعتيادية ان الجملة المزدوجة فيها هي نصف صحيحة، أو أن نصفا منها فقط صحيح في الحالتين الثانية والثالثة وللمنطيق على كل حال، يتضمن العطف قيم الصحة المبينة في الجدول.

ص209

‏وبالنسبة للنفي يكون جدول الصحة:

ب             N ب

ص             خ

خ               ص

‏نحتاج هنا الى جملة واحدة فقط: ب، إضافة الى نفيها N  ‏ب. يعني هذا طبعا ان جملة ما إن لم تكن صحيحة فهي خطأ، والعكس بالعكس. لكننا، مرة أخرى، لا نتقبل هذا دائما في اللغة الاعتيادية. فان سئلنا عما إذا كانت تمطر أم لا، فقد نقول: انها لا تفعل هذا ولا ذاك. هناك أيضا مشاكل مع المتخالفات والمتعاكسات. سنتذكر مثلا، ان: جون ليس شريفاً، ستعني عادة ان جون غير شريف، في حين أن: جون ليس ذكياً، لن تعني انه غبي.

وأما جدول الصحة للفصل فهو:

ب         د                 ب     أو       د

ص       ص                      ص

ص       خ                        ص

خ         ص                      ص

خ         خ                        خ

‏يرتبط هذا الجدول بـ أو، سوى ان السطر الأول يسمح للجملة المزدوجة ان تكون صحية إن كانت كلتا الجملتين البسيطتين ‏صحيحتين. ففي اللغة الاعتيادية تعني إما... أو، عادة، ان إحدى

ص210

‏الجملتين صحيحة. فقد نقول:

‏جون اما في البيت او في مكتبه.

جون في البيت

‏إذن جون ليس في مكتبه.

‏وهذا يتضمن (أو) الحصرية. إلا ان الفصل المنطقي يهتم بـ ( أو) الشاملة التي لا تسمح فقط لأن تكون احدى الجملتين صحيحة، بل أيضأ لأن تكون كلتا الجملتين صحيحتين. وتسمح اللغة الاعتيادية أحيانا بـ (أو) الشاملة. فمثلا. ينطبق الاجراء على اي شخص انثى أو ‏فوق الـ 65‏. لكن هذا لا ينطبق فقط على النساء تحت الـ 65 ‏، والرجال فوق الـ ٦5 ‏. انه يشمل أيضأ النساء فوق الـ 65 ‏اللواتي من أناث واكثر من 65 ‏في الوقت نفسه. وفي معادلة منطقية يتوجب تحديد (أو) ‏الحصرية بـ:

(ب V د) & N (ب & د)

اي انها تضيف الى ب أو د الشاملة، الظرف:

ليس كلاً من ب ود.

‏وعلى الرغم من ان التضمين يرتبط،: إذا... إذن، فتمة فرق جوهري بينهما. وفي اللغة الاعتيادية لا نربط عادة الجمل _: إذا... إذن، إلا إذا كانت هناك بعض العلاقة العابرة (أو المشابهة) بينهما. لكن ‏هذا غير مسموح به في المنطق الفرضي، لأنه لا يأخذ بنظر الاعتبار طبيعة الجمل نفسها. وكما هو الحال مع أدوات العطف والفصل، فإننا نحتاج إلى الروابط التي تربط (أية) جمل بموجب قيم الصحة فيها. وجدول الصحة للتضمين في الحقيقة هو:

ص211

ب         د                 ب     ←       د

ص       ص                      ص

ص       خ                        خ

خ         ص                      ص

خ         خ                        ص

وطبقاً لهذا الجدول، فأن أي بيان صحيح سيتضمن أي بيان صحيح آخر. من هنا يمكن ان نستدل:

اذا كان الحصان ثديياً، فان القرش سمكة. إلا ان جملة مخطوءة تتضمن كما يتبين من الجدول، جملة مخطوءة وجملة صحيحة. فيمكن ان نستدل:

اذا كان الحصان طيراً،                فالقرش هو ثديي.

اذا كان الحصان طيراً،               فالقرش هو سمكة

(اذا كانت: الحصان طير، مخطوءة، يمكن ان نستدل كلاً من: القرش ثديي، المخطوءة، و: القرش سمكة، الصحيحة ) كما يمكن ان نستدل أيضا (اذا كانت: انا خفي [ غير مرئي] مخطوءة):

اذا أنا خفي، لا يستطيع أحد أن يراني

اذا انا خفي، لا يستطيع كل واحد ان يراني.

وعلى الرغم من ان هذا قد يبدو لا معقولاً، فإن فيه بعض التناسق مع الاستعمال في اللغة:

اذا هو رئيس، فأنا هولندي / سآكل قبعتي.

حيث تتضمن هنا جملة مخطوءة جملة مخطوءة أخرى. النقطة الأساسية على كل حال، واضحة.

فالتضمين، بالمعنى المنطقي، مثل أي من الروابط، لا يتوافق

ص212

‏بالضرورة تماما مع استعمال أي شيء موجود في اللغة الطبيعية. انه يدين برجاحته كليا الى وظائف الصحة المسندة اليه. (وهذا على كل حال، التضمين المادي. وللتضمين المتشدد).

‏أخيرا، التساوي هو مجرد عطف تضميني: ب / / / د يساوى (ب & ‏← (د ← ب). ويعبر عنه عامة في اللغة الاعتيادية بلفظة: فقط إذا، (على الرغم من ان فيه عادة، كما هو الحال، مع التضمين، بعض الربط العابر ين الجملتين في اللغة الاعتيادية). فجدول الصحة هو:

‏ب           د                    ب /// د

‏ص   ص                        ص

ص   ص                 خ

خ      ص                 خ

خ      خ                    ص

‏ومن الجدير بالملاحظة الموجزة اننا نستطيع في الحقيقة ان نتعامل ‏مع اثنين فقط من الروابط التي ناقشناها، النفي والعطف، لأن ب ← د. / / N ب V د / / / N ‏(ب & N ‏د). ويمكن ات كد من ذلك من جداول الصحة، أو سليقياً، كالتساوي بين:

‏إن يبق جون، فأنا أغادر

‏و: إما ان جون لا يبقى أو اني اغادر

‏(ب ← د) / / / ( N ‏ب V د).

‏وبمعرفة معنى الروابط  يمكن إستنباط قيمة الحقيقة لجمل مزدوجة في غاية التعقيد من جمل بسيطة. غير ان هناك أهمية خاصة للجمل المزدوجة الصحيحة بغض النظر عما إذا كانت الجمل الأصلية صحيحة

 ص213

‏أو مخطوءة، حيث تعتمد صحتها على الروابط فقط وتسمى مثل هذه الجمل بالفوائض: ب N V ‏ب، لأن هذه الجملة ستكون صحيحة سواءاً ‏كانت ب صحيحة أو خطأ. ومجموعة واضحة اخرى هي: (ب & ‏د) ← ‏ب و(بما أن ب & ‏د مخطوءة) N ‏ب N ← (ب & ‏د). وهناك تعقيد أكبر في معادلات معالجة الاستنتاج في‏، المتعلق بوجود جون في مكتبه – (ب V د & N د) ← ب، إذ يمكن أن نستنتج من جدول الحقيقة أنها صحيحة دائما بغض النظر عن صحة ب ود. ومن خلال طبيعة الفوائض فإننا نعرف ان إستنتاجنا سليم.

‏لقد كان المنطق القاضي ذا أهمية في إحدى مناقشاتنا السابقة. فنحن نتذكر أن أحد الحلول لمسألة: ملك فرنسا أصلع، انها تؤكد ان في فرنسا ملك، وانه ‏أصلح. وبهذا تكون بنيتها المنطقية: ب & ‏د. فان لم ينطبق عليها إختبار النفي، لأننا قد نقول إما: ملك، فرنسا ليس أصلع – فهو كث الشعر، أو: ملك فرنما ليس أصلع - ليس في فرنسا ملك، أمكن تفسير هذا بالحقيقة القائلة أن ‏ب & ‏د مخطوءة إذا كانت إما ب أود مخطوءة. إن جملة، ملك فرنسا أصلع، لا قبتفترض في التحليل أن في فرنسا ملكا. انها تتضمن هذا (منطقياً)، حيث أن (ب & ‏د) ← ب. فان لم يكن في فرنسا ملك أوانه لم يكن أصلع، فالجملة كلها مخطوءة، حيث أن: N ب N ‏← (ب & ‏د) و n ‏د N ← (ب & ‏د). ومن مزايا هذا المدخل، كما يزعم البعض، ان بإمكانه ان يعالج كل المسألة بموجب منطق ذي قيمتين تتضمنان فقط: صحيح وخطأ، في حين ان التفسير القبئفتراضي يتضمن حقيقة ثالثة: لا صحيحة ولا خطأ (عندما يكون هناك فشل إستلزامي وفجوة في قيمة الحقيقة).

‏لقد رأينا اذ هناك بعض الاسناد لهذا الرأي في اللغة الاعتيادية في أن بإمكاننا أن نقول: هذا ليس صحيحا - لا يوجد ملك في فرنسا. غير ان هذا

‏ليس بالجواب النموذجي. إضافة الى هذا، فالواقع أنا في اللغة الاعتيادية

 ص214

‏لانقبل دائما أن: N ب N ‏← (ب & ‏د) - أي إذا كانت إحدى الجملتين المترابطتين غير صحيحة، فان كل الجملة المعقدة غير صحيحة. فان قلت: جون غني جدا، ويعيش في البهاما، في حين أنه يعيش فعلا في برمودا، فإننا لن نقول ان ما قلته أنا هو غير صحيح، بل سنقول أن نصفها صحيح أو أن جزءا منها فقط صحيح. ان حقيقة أن بإمكاننا معالجة هذه المسألة بلغة المنطق لا ‏يبين بالضرورة انه يتوجب ذلك، والنقاط التي اثيرت هنا تبين ان اي تحليل منطقي لا يتفق تماما مع سليقتنا او مع الممارسة اللغوية. اضافة الى هذا، فان معظم المناقشات المطروحة في ‏توحي بشدة ان تحليلا مثل هذا قد لا يكون مرضيا. النقطة ببساطة هي ان علينا ان لا نحاول تحليلا منطقيا الا اذا بينا ‏اولا ان التحليل بموجب التأكيد تحليل سليم. ولا نستطيع، كما لا يجب، ان نستثمر حقيقة ان بوسعنا معالجة المسألة بلغة المنطق بوصفها مناقشة لصالح ‏هذا التحليل.

ص215