العنوان: تعميمات الـGCD-Domain من النوع

a+xb[[x]]  ,   a+xb[x]

 اسم الباحث:   ماهرة ربيع قاسم النعمة 

الجامعه والكليه:  كلية التربية في جامعة تكريت

الخلاصه :

لتكن R حلقة ابدالية ذات عنصر محايد و في حقيقة الامر , إذا كان لكل زوج من عناصر R  قاسم مشترك أعظم GCD في R عند ذلك تسمى R  مجال GCD . والجدير بالذكر  أن مجال R يسمى schreier ابتدائية  اينما يكون العنصر X ينتمي الى r  غير الصفري يقسم a₁ a₂ مع a₁, a₂ تنتمي الىٌ R و يمكن لـ X أن تكتب بالشكل الاتي x = x₁x₂ حيث أن x_i تقسم a_i  و iالتي تساوي 1و2 . أن المجال المغلق بشكل تكامليً من schreier الابتدائية يسمى مجال ا لـ schreier. و من المعروف أن أي مجال لـGCD هو مجال لـ schreier. و فيما بعض النتائج التي تم إثباتها في هذا العمل:

1. لتكن  A Í B مجالاً موسعا، فتكون A+(x, y) B[x, y]   مجال gcd إذا  كان a مجال gcd و كان a=B.
2. لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و كانت x  قيمة ابتدائية في a +xB[x]، فيكون   b= A_s مع S=U(b) ∩ A .
3. لتكن A Í B مجالاً موسعاً و كانت x  قيمة ابتدائية في a+xb[[x]]، فيكون   b= a_s مع s= U(b)A.
4. لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و لتكن r= a +xb[x]، إذا كانت R عبارة عن schreier ابتدائية، سيكون b  حلقة خارج القسمة من حلقة a، و باختصار أكثر     (b= a_s , S = U(b) ∩a) .
5. لتكن A Í B مجالاً موسعاً و لتكن r= a+ xb[[x]]. إذا كانت r  schreier  ابتدائية ، ستكون b    خارج القسمة  من حلقة a، و باختصار أكثر              b= a_s , S=U(B) ∩a.
6. ان مجال r  هو schreier ابتدائية فضلأ عن  كون R_s   schreier ابتدائية لبعض التعويضات المضاعفة لـ S من R تولدت من عناصر ابتدائية تماماً.
7. A Í B   مجالاً موسعاً. افتراضأ بوجود حلقة تشاكل A:R بحيث ان 

(a)=a لكل a ينتمي الى A.

• إذا كانت S وحدة ابتدائية لـA بحيث ان) Í sR) ker  ستكون S  ابتدائية في R.
• إذا كان S  ينتمي إلى A  و S ابتدائية في R، ستكون S  أيضاً ابتدائية في A.
• إذا كان R  schreier ابتدائية، سيكون A  أيضاً schreier ابتدائية.

•   A Í B  مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩ A سيكون A= xB[x] مجال schreier ابتدائية إذا كان و فقط إذا كان A schreier ابتدائية و B=A_s و A_S schreier.
• لتكن A Í B مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩A سيكون A+xB[[x]] مجال schreier ابتدائية إذا و فقط إذا كان A schreier ابتدائية وكان B= A_s و A_s يمثل schreier.
• إذا كان A Í B  يمثل مجالاً موسعاً، فإذا كان   A+ xB[x] مجال schreier ابتدائية سيكون كذلك ل A+ (x₁, ……x_n)B[x₁,x₂….x_n]  لكل n.
• لتكن A Í B    مجالاً موسعاً , فإذا كان a+xB[[x]]  مجال schreier ابتدائية سيكون كذلك ل A+ (x₁, ……x_n)B[[x₁, …….x_n]] لكل n.
• لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و S=U(B) ∩A سيكون A+ xB[x] مجال  schreier إذا و فقط إذا كان B= A_s و إذا كان A يمثل schreier.
• لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩A سيكون A+ xB[[x]] تمثل schreier إذا و فقط إذا كان B= A_s و كان A  يمثل schreier.

Let R be a commutative ring with identity .In fact ,  if each pair of elements of R has a Greatest Common Divisor (GCD) in R, then R is called a GCD- domain. Recall that, a domain R is called pre-Schreier if whenever a non- zero xR divides a₁a₂ with a₁, a₂  R, x can be written as x = x₁x₂ such that x_i divides a_i , i =1,2 . A pre-  Schreier integrally closed domain is called Schreier domain. It is known that any GCD domain is a schreier domain. We sellect some of our  results in this work:

Let A and B are two domains .

 1-   Let A Í B be an extension domain of A, then A+(x, y) B[x,y] is a GCD-domain   if   A is a  GCD-domain and A=B.

 2-  Let A Í B be an extension domain of A and x is primal in A+xB[x], then B=As with S=U(B) ∩ A.  

3-  Let A Í B be an extension domain of A and x is primal in A+xB[[x]] , then B=A_s with S=U(B) ∩ A.

4-   Let A Í B be an extension domain of A and let R=A+xB[x]. If R is pre-Schreier , then B is quotient ring of A , more precisely (B=A_s with S= U (B) ∩ A).

5-   Let A  Í   B  be an extension domain of A and  let R=A+xB[[x]].If R is pre-Schreier, then B is quotient ring of A , more precisely (B=A_s with S=U(B) ∩ A).

6-  A domain R is a pre-Schreier provided R_s is Pre-Schreier for some multiplicative subset S of R generated by completely primal elements .

7-   Let A Í R be an extension  domain .Assume that there exists a ring homomorphism :R   A  such that (a)=a   "a A.

 i- If s is a primal element of A,such that: ker() Í sR,then  s is      primal in R.

 ii-If s Î A and s is primal in R , then s is also primal in A.

 iii- If R is pre-Schreier , then A is also pre-Schreier.

8-  Let A Í B be an extension domain of A and S=U(B) ∩ A.Then A + xB[x] is a pre-Schreier domain  if and only if A is pre-Schreier and B=A_s and As is Schreier.

9- Let A Í B extension domain  of A and S=U(B) ∩ A. Then A+xB[[x]] is pre-Schreier domain if and only if  A is pre-Schreier . And B=A_s and As[[x]] is pre-Schreier domain.

10-  Let A Í B be an extension domain of A , if A+xB[x] is a pre-Schreier,then so is A+(x₁,…,x_n)B[x₁,…,x_n] for each n.

11-  Let A Í B be an extension domain of A, if A+xB[[x]] is pre-Schreier,then so is A+(x₁,…,x_n)B[[x₁,…,x_n]] for each  n.

12-  Let AÍ B be an extension domain of A and S=U(B) ∩A. Then A+xB[x]  is Schreier  if and only if  B=A_s and A is Schreier.

13-   Let A Í B  be an extension domain of A and  S= U(B) ∩ A.Then A+xB[[x]] is Schreier   if and only if   B=A_s  and A is Schreier.

ملاحظه: للحصول على الملف كاملا يمكنكم مراسلتنا عل البريد الالكتروني 

(almerjamathematics@gmail.com)