قانون هوك ، معاملات المرونة

يتميز كثير من الأجسام، كالسلك الزنبركي او القضيب المعدني، بخاصية تسمى المرونة، فعندما يستطيل الجسم أو ينضغط تحت تأثير قوة مسلطة فإنه يميل إلى العودة إلى طوله الأصلي عند إزالة القوة. لنفرض مثلاً ان الزنبرك المبين بالشكل (1) طوله الأصلي L₀ وانه قد استطال بمقدار LΔ تحت تأثير القوة المسلطة F. بدراسة هذا السلوك وجد روبرت هوك (1635 - 1703) أن الاستطالة تتضاعف مرتين إذا تضاعفت القوة المسلطة مرتين، بشرط ألا تكون الاستطالة كبيرة جداً، أي ان L α FΔ عموماً. وقد وضع هوك اكتشافاته هذه في صورة قاعدة تعرف الآن بقانون هوك:

عندما يتمدد جسم مرن أو يتشوه بأي صورة اخرى فإن مقدار التشوه يتناسب خطياً مع القوة المشوهة.

ولكن عند امتداد ( استطالة) الزنبرك بمقدار كبير بحيث يتعدى ما يعرف بحد المرونة فإن ينحرف عن هذا التناسب الطردي بين LΔ و F وعلاوة على ذلك سنلاحظ أن الزنبرك لن يعود إلى طوله الأصلي عند إزالة القوة المسلطة.

الشكل ( (1

وعند استبدال الزنبرك المبين بالشكل ( (1بقضيب مصمت سنجد أيضاً أن القضيب يتبع قانون هوك. وبالرغم من أن الاستطالة النسبية للقضيب أصغر كثيراً من قيمتها في حالة الزنبرك فإن القضيب يستطيل بانتظام بما يتفق مع قانون هولك ، ولكن قيم الاستطالة تكون أصغر مما في حالة الزنبرك؛ ويوضح الشكل ((2 السلوك المشاهد عملياً في تجربة نموذجية من هذا النوع. لاحظ ان قانون هوك ينطبق في المنطقة المرنة فقط ، وسوف يفترض في المناقشة الآتية أن القوة والاستطالة صغيران بحيث لا يتعدى تشوه المادة حد مرونتها.

الشكل ((2

لاستخدام قانون هوك في وصف الخواص المرنة للجوامد سوف نستخدم مصطلحين هامين هما الإجهاد والانفعال ، وسنقوم بتعريف هاتين الكميتين بمساعدة تجربة الاستطالة ( او الشد) المبينة بالشكل 3)). في هذه التجربة تؤثر القوة الشادة (المطيلة) F عمودياً على المساحة الطرفية A لقضيب طوله الأصلي L₀ فيستطيل القضيب نتيجة لذلك بمقدار LΔ. يعرف الإجهاد الناتج عن F كالتالي:

(1)         

وحدات الاجهاد في النظام SI هي النيوترون لكل متر مربع ( N/m²) .

ويعرف انفعال القضيب في الشكل 3)) كما يلي:

(2)        

الشكل 3)) : إجهاد الشد وإجهاد الضغط في حالة قضيب منتظم الإجهاد هو F/A والانفعال هو L / L₀Δ.

وقد عرف الانفعال بالنسبة L / L₀Δ، بدلا ً من LΔ، لأن أي جسم مرن يستطيع بمقدار يتناسب طردياً مع طوله الأصلي. وبقسمة LΔ على L₀ نكون قد تخلصنا من تأثير طول الجسم على الاستطالة، وهو تأثير لا يمثل أي أهمية فيما يتعلق بخواص مادة القضيب ذاتها.

ونظراً لأن الانفعال نسبة بين طولين فإنه كمية ليست لها وحدات. وسنرى مؤخراً في هذا القسم أن هناك انواعاً اخرى من الانفعال ،وهذا يتوقف على الناحية الهندسية للموقف. اما في هذه الحالة الحالية فإننا نتحدث عن انفعال  شد. ولكن إذا ضغط القضيب في اتجاه مواز لطوله فإن الانفعال، طبقاً للتعريف، سيكون أيضاً هو النسبة بين التغير في الطول والطول الاصلي.

الآن يمكننا إعادة صياغة قانون هوك. ذلك أن الإجهاد مقياس للقوة المشوهة والانفعال مقياس للتشوه. وعليه يمكن كتابة قانون هوك على الصورة:

(3)     ( الانفعال ) ( ثابت) = الإجهاد

وبهذه الصورة يمكن تطبيق قانون هوك على مواقف كثيرة تختلف عن استطالة القضيب، وقد أثبتت تجارب هوك أن هذا القانون صالح للتطبيق في حالات استطالة وانحناء وفي العديد من الزنبركات والأجسام الأخرى. وكما أوضحنا سابقاً فإن قانون هولك ينطبق طبعاً في المنطقة المرنة من التشوهات فقط.

يعتمد ثابت التناسب في المعادلة (3) على طبيعة المادة ونوع التشوه الذي تعانيه، وهو يعرف بمعامل مرونة المادة. إذن ، طبقاً للتعريف:

(4)