معادلة برنولي

أن لكل سائل لزوجة معينة. وإذا كانت اللزوجة كبيرة من الضروري بذل شغل كبير لدفع السائل في الماسورة أو الأنبوبة. ونتيجة لقوى الاحتكاك بين طبقات السائل أثناء الانسياب سوف تفقد بعض الطاقة وتظهر في نهاية الأمر على هيئة حرارة تسبب تسخين السائل. ولكن بعض السوائل تمتاز بان لزوجتها من الصغر بحيث تكون فواقد الطاقة الاحتكاكية مهملة، على الأقل لبعض الأغراض وفي هذه الحالة يمكن إيجاد علاقة هامة للضغط في سائل متحرك تسمى معادلة برنولي نسبة إلى دانيل برنولي الذي قام بنشرها في عام 1738.

الشكل 1)): الشغل المبذول بواسطة F₁ (وهو يساوي P₁A₁) يساوي الشغل المبذول ضد القوة F₂ ( والذي يساوي P₂A₂) مضافاً إليه التغيرات في طاقتي الحركة الوضع للسائل.

لندرس حالة انسياب سائل في ماسورة كالمبينة بالشكل 1)). هذه الماسورة مملوءة تماماً بسائل غير قابل للانضغاط بين كباسين لا احتكاكيين. لنفرض أن الكباس 1 يدفع إلى اليمين بسرعة ثابتة مقدارها v₁ وأن الكباس 2 يتحرك إلى اليمين بسرعة مقدارها v₂. في هذه الحالة تتزن القوة F₁ المؤثرة على الكباس 1 مع القوة P₁A₁ الناتجة عن ضغط السائل، حيث A₁ مساحة الكباس 1. (لابد أن تتعادل القوتان المؤثرتان على الكباس وإلا سبب صافي القوة المؤثرة عليه تسارعه ).

وبالمثل فإن F₂ = P₂A₂ عند الكباس 2. وحيث ان المسافة التي يتحركها الكباس 1 في زمن قدره t هي v₁t فإن حجم السائل الذي يدفعه هذا الكباس يكون v₁t)(A₁)). وحيث أن السائل غير قابل للانضغاط، إذن لابد ان يفسح الكباس 2 مكاناً لحجم مساوٍ من السائل. وعليه فإن v₁t)(A₁) = (v₂t)(A₂)  )، أو:

v₁A₁ = v₂A₂

وقد تساءل برنولي عما يحدث نتيجة للشغل المبذول بواسطة الكباس 1، وهو يساوي F₁(v₁t)، وحيث أن F₁ = P₁A₁، إذن:

  = P₁A₁v₁tدخل الشغل

وحيث أن الكباس 2 يبذل كمية من الشغل قدرها F₂(v₂t) فإن جزءاً من دخل الشغل قد استخدم هناك.

بالإضافة إلى ذلك فإن السائل المضغوط إلى اليمين بواسطة الكباس 1 ينتقل بالطبع إلى الأنبوبة العلوية. ونتيجة لذلك يكتسب هذا السائل (وكتلته M وحجمه V) كمية معينة من طاقة الوضع. وأيضاً، حيث أن السائل يتحرك الآن بسرعة مختلفة v₂ فإن طاقة حركته سوف تتغير أيضاً . وبالطبع سوف تتحول بعض الطاقة إلى طاقة حرارية نتيجة للقوى الاحتكاكية التي تسببها لزوجة السائل ، وكلننا سوف نفرض أن هذه الكمية مهملة. بهذا الأسلوب يمكن كتابة المعادلة التالية التي تخبرنا بما حدث لدخل الشغل:

التغير في KE + التغير في GPE + خرج الشغل = دخل الشغل

أو ، باستخدام رموز الشكل 1)):

حيث M كتلة الحجم المعنى من المسائل وقدره A₁v₁t. ومن تعريف الكثافة نجد أن :

A₂v₂t A₁v₁t = ρ M = ρ

وبالتعويض عن كتلة السائل في المعادلة السابقة وإعادة ترتيب حدودها نحصل على المعادلة الآتية: