تعريف (1-1):

يقال للمصفوفة المربعة A بأنها قابلة للأقطرة إذا وجدت مصفوفة مثل P قابلة للانعكاس بحيث:

                                                                                      P^-1AP=D

حيث D مصففة قطرية. P تسمى مؤقطرة A.

مثال(1):

حول  إلى مصفوفة قطرية.

1. نوجد المعادلة المميزة.

3. بالتعويض في المعادلة  واختزال المصفوفة الناتجة ومن ثم بحل النظام المتجانس نحصل على:

5. إذن عند تعويض بالتعويض عن a = -16 (لأن a كمية ثابتة ويمكن اختيارها -16).

وعند التعويض عن   λ=6​والضرب c = 1 نحصل على   واخيراً عند تعويض 7 =λو  v = 1 نحصل على المتجه الذاتي 

6. بوضع الأعمدة v₃, v₂, v₁ بشكل صفوف نحصل على المصفوفة التالية:

بما أن P قابلة للانعكاس ، نجد P^-1 بإحدى الطرق التي تعلمناها في فصول سابقة.

7. وبالتعويض في العلاقة P^-1AP سنحصل على

لاحظ أن عناصر القطر الرئيسي في D هي القيم الذاتية للمصفوفة A وكما وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية v₃, v₂, v₁

مبرهنة (1-2):

إذا كانت A مصفوفة سعتها n x n، فإن A قابلة للأفطرة إذا وفقط إذا احتوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياً وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية المستقلة خطياً.

البرهان:

نفرض أن A تحوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياًv_n , …., v₂, v₁ المرافقة للقيم الذاتية 

إذن P^-1AP = D ، أي أن AP = PD.

حيث D مصفوفة قطرية قيمها الذاتية,λ₁ n,…. ,λ₂λ بما أن متجهات أعمدة P مستقلة خطياً، فإن P قابلة للانعكاس بموجب (3) فإن P^-1AP = D، بمعنى آخر، A قابلة للأقطرة.

ويمن تلخيص طريقة أقطرة المصفوفة A كما يأتي:

1. نجد المتجهات الذاتية للمصفوفة A المستقلة خطياً، نسميها v₂, v₁, …, v_n.

2. نكون المصفوفة P، أي P^-1 ومن ثم نعوض في P^-1AP والتي ستكون مصفوفة قطرية عناصرها في القطر الرئيسي هي: هي القيم الذاتية المرافقة للمتجهات الذاتية v_n, …, v₂, v₁.

مثال(2):

أوجد P التي تؤقطر 

1. المعادلة المميزة هي:

2. القيم وبما أن هذه المتجهات مستقلة خطياً لذا فإنها تؤلف أساس للفضاء الذاتي المرافق.

وعندما λ =1فإن (4) تصبح:                                                   

وبحل هذا النظام نحصل على:

                                      X₃ = a     ,    a₂ = a    ,    x₁ = -2a

عليه فإن المتجهات الذاتية المرافقة لــ 1= λهي متجهات غير صفرية وبالشكل:

لهذا أصبح لدينا ثلاث متجهات هي الأساس وعليه فإن A قابلة للأقطرة

مثال(3):

أوجد P التي تؤقطر 

القيم الذاتية لــA  هي: والمتجهات الذاتية المرافقة والمستقلة خطياً هي:

مبرهنة (1-3):

لتكن v_n, … v₂, v₁

           متجهات ذاتية للمصفوفة A المترافقة مع القيم الذاتية  فإن v_n, …, v₂, v₁ مستقلة خطياً.

البرهان:

1. نفرض m =2

بضرب طرفي المعادلة (5) بالمصفوفة A نحصل على:

2. نفرض أن المبرهنة صحيحة عندما m = k (بمعنى أن k من المتجهات الذاتية، مستقلة خطياً).

3. الآن نفرض m = k + 1

إذن c₁ = c₂ = …. c_k

وهذا يعني أن c_k+1 = 0

مبرهنة (1-4):

إذا كانت v_n ,… , v₂, v₁ متجهات ذاتية مرافقة للقيم الذاتية  فإن A قابلة للأقطرة.

البرهان:

بما أن v_n , …. , v₂, v₁ متجهات ذاتية فإن مبرهنة (7-2-3) تبين لنا أن v_n , …. , v₂, v₁ مستقلة خطياً. لذا فإن A قابلة للأقطرة حسب مبرهنة (1-2).

حساب قوى المصفوفة A:

لتكن A مصفوفة سعتها n x n و P مصفوفة قابلة للانعكاس فإن:

مثال(4):

أوجد A¹⁰ حيث 

الحل: