تمارين محلولة:

حل النظام الخطي التالي مستخدماً طريقة كاوس وطريق قاوس ــ جوردن.

الحل:

(a) توجد المصفوفة الممتدة للنظام الخطي:

(b) تعدل الصفين الأول والثاني ــ كلا مكان الآخر.

(c) نضرب الصف رقم 1 في -3 ونضيفه للصف الثاني:

وكذلك نضرب الصف رقم 1 بالعدد -1 ونضيفه للصف الثالث

(d) نضرب بالصف رقم 2 بالعدد 1/4:

(e) نضرب الصف رقم 2 والعدد 3 ونضيفه:

هذه الصيغة تسمى بالصيغة المدرجة الصيغة (أو صيغة كاوس)

وبالتعويض عن X₃ في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة X₂ ومن ثم نعوض x₂ و x₃ فإن المعادلة الثالثة لإيجاد X₁.

وللسهولة في إيجاد قيم X₁ و X₂ و X₁ نستمر في اختزال المصفوفة في الخطوة رقم 5. (f) بإضافة الصف الثالث لكل من الصفوف رقم 1 أو رقم 2

(g) نضرب الصف الثاني بالعدد 1 ونضيفه للصف الأول.

وهذه الصيغة تسمى الصيغة المدرجة المختزلة (او صيغة كارس ــ جوردن) وبمجرد النظر نصحل على الحل وهو:

2. حل النظام الخطي التالي:

الحل:

نوجد المصفوفة الممتدة:

بوساطة عمليات الصف البسيطة يتمكن بتحويل المصفوفة أعلاه للصيغة المندمة الصفية (صيغة كاوس) التالية (برهن ذلك).

بالاستمرار في استخدام عمليات الصف البسيط ، نستطيع الحصول على الصيغة المدرجة الصفية المختزلة:

المصفوفة الأخيرة هذه هي المصفوفة الممتدة للنظام:

حيث t أي عدد حقيقي.

نلاحظ من خلال الحل أعلاه أن هناك عدد غير منتهي من الحلول.

3. أوجد جميع حلول النظام الخطي المتجانس.

الحل:

المصفوفة الممتدة للنظام هي:

أما الصيغة المدرجة المختزلة لها فهي:

النظام الخطي المقابل هو:

X = W

Y = w

Z = - w

عليه فإن الحل هو : (t1 , -t, t, t) لأي عدد حقيقي t.

4- برهن أن AB ≠ BA

الحل:

عليه فإن AB = BA، بصورة عامة كذلك لما كان AB ≠ 1 فإن AB = BA = I ومن ذلك نستنتج أن B + A^-1، أي أن A غير قابلة للانعكاس (A^-1 غير موجودة).

أوجد A^-1 ،إذا وجد معكوس للمصفوفة:

1. تكون المصفوفة [A:I₃]

2. بواسطة عمليات الصف البسيطة فإن A تختزل صفياً إلى I³، إذا كانت A قابلة للانعكاس I³, ستصبح A^-1.