سنعمم في هذا البند المفاهيم الواردة في التحويلات الخطية T=Rⁿ⟶R^m على التحويلات الخطية العامة.

تعريف (1-1):

يقال التحويلة T:V⟶W بأنها متباينة وتكتب (1,-1) او (one – to – one)، إذا كان كل متجه في المدى W هو صورة لمتجه واحد فقط في المنطلق V.

يمكن التعبير عن خاصية التباين جبرياً بالشكل:

إذا كانت T(v₁) = T(v₂) فإن v₁ = v₂ لكل V∊,v₂ v₁.

خواص التحويلات الخطية T:V⟶W

لتكن T:V⟶W تحويلة خطية فإن الخواص الآتية متكافئة:

1. متباينةT .

2. نواة T تحتوي على المتجه الصفري فقط. أي انها تحتوي على المتجه الصفري فقط. أي أن Ker T = 0

3. صفري T تساوي صفر. أي null (T) = 0

من السهولة برهان أن الخواص الثلاثة متكافئة. فإذ فرضنا أن T متباينة  و v∊ker T فإن      T(v) = 0 ولكن T(0) = 0 فإن v = 0 (لأن T متباينة) وعليه فإن نواة T تتكون من عنصر واحد هو العنصر الصفري [أي {0} Ker T =].

نفرض الآن أن Ker T = 0 و T(v₁) = T(v₂)

T(v₁) – T(v₂) = T(v₁ – v₂) [لأن Ker T ∊v₁,v₂]

إذن T(v₁ - v₂) = 0

عليه T v1-v2∊ker ومن هذا نستنتج أن T متباينة.

إذن (1) تكافئ (2) تكافئ (1).

نفرض (2) صحيحة. أي، Ker (T) = 0.

لما كان Ker T تحتوي على العنصر الصفري فإن بعد صفرية T يساوي صفر.

والآن نفرض (3) صحيحة. أي، صفرية T

 تساوي صفر، بمعنى آخر

Null (T) = 0 لذا فإن بعد نواة T يساوي صفر.

عليه فإن Ker (T) يحتوي فقط على المتجه الصفري.

مثال(1):

أوجد بعد المدى وبعد نواة T_A

الحل:

الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A هي:

لإيجاد null (A) يجب أن نوجد بعد فضاء الحل للنظام الخطي المتجانس AX = 0 وبحل هذا النظام باختزال المصفوفة الممتدة للشكل المدرج السفي المختزل، سنحصل على المعادلات الآتية:

وبحل المعادلات أعلاه سنحصل على الحل العام للنظام وهو:

إذن المتجهات الأربعة هي أساس فضاء الحل. لذا فإن rank (A) = 2  و  null(A) = 4 وبموجب المبرهنة (6-2-3) فإن rank (T_A) = 2  و  null (T_A) = 4

مثال(2):

فإن T_A ليست متباينة لأن A غير قابلة للانعكاس وذلك لأن محددها يساوي صفر لكون الصفين الأول والثاني أحدهما مضروب الآخر.

معكوس التحويلة الخطية العامة:

سبق وأن عرفنا معكوس العملية الخطية المتباينة Rⁿ⟶T_A:Rⁿ. ولاحظنا أنه إذا كانت W هي صورة v تحت تأثير T_A فإن T_A-1 تعيد صورة w إلى v. سنحاول تعميم هذه الأفكار على العمليات الخطية العامة.

فإذا كانت T:V⟶W تحويلة خطية فإن مدى T هو فضاء جزئي من W يتكون من جميع صور المتجهات في V تحت تأثير T. إذا كانت T متباينة فإن كل متجه v في V يمتلك صورة وحيدة w = T(v) في مدى T.  وحدانية الصورة هذه تساعدنا في تعريف معكوس T، يكتب T^-1، التي تعيد الصور w إلى v، لاحظ الشكل (8-4).

                                                                                 شكل (1-1)

مثال(3) :

لتكن  تحويلة خطية معرفة بالشكل:

حيث P(x) متعددة حدود من الدرجة n أوجد T^-1

الحل:

واضح أن T متباينة وعليه فإن T لها معكوس. كذلك:

مثال(4):

إذا كان R³⟶T:R³. تحويلة خطية معرفة بالشكل

الحل: