عادةً ما تُروى قصة النوبة الشديدة لحمى القش التي أصابت هايزنبرج في مايو ١٩٢٥، وكيف أنه سافر إلى جزيرة هيليجولاند الصخرية بغرض التعافي؛ حيث ركز بعناية على مهمة تفسير ما كان معروفًا عن السلوكِ الكَمي في هذه الآونة. تمكن هايزنبرج من العمل بصورة مكثفة على هذه المشكلة بعد أن تماثل للشفاء من حمى القش؛ لأنه لم يكن هناك ما يلهيه على الجزيرة. وفي كتابه الذي يتحدث فيه عن سيرته الذاتية «الفيزياء وما بعدها»، وصفَ هايزنبرج مشاعره عندما بدأت الأعداد تتضح ويُفهم مغزاها، وكيف أنه في الثالثة صباحًا – حسب قوله - لم يعد لديه شكٍّ في الاتساق والترابط الرياضي لنوع ميكانيكا الكم الذي كانت تشير إليه حساباتي في البداية، كنتُ مندهشًا بشدة. وكان لدي شعور بأنني أشاهد عبر سطح الظواهر الذرية عالما داخليا جميلا على نحو غريب، ولم أتمالك نفسي عندما فكرت أن عليَّ الآن فحص هذه الثروة من البنى الرياضية التي كشفتها الطبيعة أمامي بكرم بالغ، واختبارها».

عندما عاد هايزنبرج إلى جوتينجن، استغرق ثلاثة أسابيع في إعداد بحثه في صورة مناسبة للنشر، وأرسل نسخةً من البحث أولاً إلى صديقه القديم باولي، سائله عن رأيه في البحث وإن كان يراه ذا مغزّى كان باولي متحمسًا، إلا أن هايزنبرج كان منهكا من جراء ما بذله من جهد، ولم يكن متأكدًا بعد من أن البحث جاهز للنشر. ترك البحث لدى بورن ليتصرف فيه بما يراه مناسبًا، وغادر في يوليو ۱۹۲٥ لإلقاء سلسلة من المحاضرات في ليدن وكامبريدج. ومن سخرية القدر أنه لم يتحدث عن بحثه الجديد أمام الحاضرين هناك، وكان عليهم أن ينتظروا حتى تصلهم الأخبار عن طريق قنوات أخرى. كان بورن سعيدًا بما يكفي لإرسال بحث هايزنبرج إلى مجلة الفيزياء الألمانية «تسايتشريفت فور فيزيك»، وأدرك في لحظتها تقريبًا أهمية السبق الذي حازه هايزنبرج بمحض المصادفة. لم يكن من الممكن التعامل مع الرياضيات التي تتضمن حالتين من الذرة بواسطة الأعداد العادية ولكنها استلزمت مجموعات مرتَّبة من الأعداد، وهو ما فكر فيه هايزنبرج على أنه جداول. وأفضل تشبيه لها هو لوحة الشطرنج، فهناك 64 مربعا على اللوحة، ويمكنك في هذه الحالة تحديد كل مربع بواسطة عددٍ في المدى من 1 إلى 64. ولكن، يفضّل لاعبو الشطرنج استخدام مجموعة رموز تسمى فيها «أعمدة» المربعات الموجودة بعرض اللوحة بالحروف الهجائية الإنجليزية a,b,c,d,e,f,g,h))، وتُرقم «الصفوف» من أسفل إلى أعلى (1,2,3,4,5,6,7,8). وبذلك، يمكن تحديد كل مربع على اللوحة بواسطة زوج فريد من المسميات المميزة: 1a هو المربع الخاص بالطابية (الرُّخ)، و2g هو المربع الخاص ببيدق الفرس، وهكذا. وتتضمن جداول هايزنبرج مجموعات مرتبة من الأعداد في بعدين، مثل لوحة الشطرنج؛ لأنه كان يُجري حسابات تتضمن حالتين وتفاعلاتهما. وقد تضمنت تلك الحسابات – ضمن أشياء أخرى - ضرب فئتين من هذه الفئات من الأعداد أو مجموعتين مرتبتين من الأعداد معا، وقد باشر هايزنبرج العمل بجد حتى توصل إلى الحيل الرياضية المناسبة لإنجاز المهمة. لكنه انتهى إلى نتيجة غريبة للغاية، ومحيّرة لدرجة أنها كانت أحد أسباب عدم ثقته في نشر عملياته الحسابية. فعند ضرب هذه المجموعات المرتبة معًا، اتضح أن «الناتج» الذي تحصل عليه يعتمد على الترتيب الذي أُجريت به عملية الضرب.

وهذا الأمر غريب حقًّا. إنه مثل القول بأن 2 × 3 ليست 3 × 2، أو بمصطلحات الجبرa × b = b × a  كان بورن مشغول الذهن بهذه الغرابة ليل نهار، مقتنعًا أن شيئًا ما أساسيا يقبع وراءها ثم فجأة تكشف له الأمر. فقد كانت المجموعات المرتبة وجداول الأعداد التي صممها هايزنبرج بجهدٍ لا يكل معروفةً في الرياضيات من قبل. كان هناك بالفعل فرع كامل يختص بحساب التفاضل والتكامل لهذه الأعداد، وكانت هذه الأعداد تسمى فيه بالمصفوفات وقد درسها بورن في السنوات الأولى من القرن العشرين عندما كان طالبًا في بريسلاو. ولم يكن من المستغرب أن يتذكر هذا الفرع المغمور من الرياضيات بعد أكثر من عشرين سنة؛ لأن هناك خاصية أساسية للمصفوفات تجعلها دائما ذات تأثير عميق على الطلاب عندما يدرسونها لأول مرة؛ ذلك حيث تعتمد الإجابة التي تحصل عليها عندما تضرب المصفوفات على الترتيب الذي أجريت به الضرب، أو بلغة الرياضيات المصفوفات لا تقبل الإبدال.

وفي صيف ١٩٢٥، ومن خلال العمل مع باسكال جوردان، طور بورن بدايات ما يُعرف إلى الآن بميكانيكا المصفوفات. وعندما عاد هايزنبرج إلى كوبنهاجن في شهر سبتمبر، انضم إليهما عن طريق المراسلات في كتابة بحث علمي عن ميكانيكا الكم. وقد أكد

شكل ٦-١: يمكن تعريف كل مربع على لوحة الشطرنج بزوج من عدد وحرف مثل 4b أو 7f. كما يمكن تعريف حالات ميكانيكا الكم بزوج من الأعداد.

الباحثون الثلاثة في هذا البحث العلمي الأهمية الرئيسية لخاصية اللاتبادلية في المتغيرات الكمية بصورة أكثر وضوحًا وصراحة من البحث الأصلي الذي كتبه هايزنبرج. وكان بورن قد اكتشف بالفعل في بحثه المشترك مع جوردان، العلاقة   pq - qp = ħ/i؛ حيث p وq مصفوفتان تمثلان متغيراتٍ كَمِّية، مكافئة في عالَمِ الكَم للزخم والموضع. ويظهر ثابت بلانك في المعادلة الجديدة مع i، الجذر التربيعي لسالب واحد، وذلك فيما أصبح معروفًا باسم «بحث الرجال الثلاثة»، وقد أكد فريق جوتينجن على أن هذه هي. «العلاقة الأساسية في ميكانيكا الكم». لكن ما الذي تعنيه بمصطلحات الفيزياء؟ كان ثابت بلانك قد أصبح مألوفًا بما فيه الكفاية في ذلك الوقت، وكان الفيزيائيون على دراية بمعادلات تتضمن i (وهو أحد مفاتيح الحلُّ للغز سيظهر فيما بعد - لو أنهم فقط أدركوا ذلك حيث تتضمن هذه المعادلات بصفة عامة تذبذبات أو موجات). أما المصفوفات، فلم تكن مألوفة بالمرة لمعظم الرياضيين والفيزيائيين سنة ،1925، وقد بدت لهم خاصية اللاتبادلية بنفس القدر من الغرابة التي كان عليها ثابت بلانك h بالنسبة إلى أسلافهم

شكل ٦-٢ تتحدد «حالة» كلٌّ مربع على لوحة الشطرنج عن طريق قطعة الشطرنج التي تشغل المربع. وفي هذه الطريقة، يُعرَّف البيدق بالعدد ،1، والطابية (الرُّخ) بالعدد 3 وهكذا، وتحمل القطع البيضاء أعدادًا موجبة، وتحمل القطع السوداء أعدادًا سالبة. ومن الممكن وصف التغير في حالة لوحة الشطرنج بأكملها عن طريق تعبير مثل: «البيدق إلى الوزير أربعة»، أو عن طريق الرموز الجبرية e2-e4. وتوصف الانتقالاتُ الكَمية بمجموعة من الرموز المماثلة التي تربط أزواج الحالات (الأولية والنهائية)، ولا نعلم في كلتا الحالتين كيف حدثت عملية الانتقال من حالة إلى أخرى وهي النقطة التي تظهر بقوة من حركة الفرس والبيات. وفي سياق التشبيه بالشطرنج، يمكننا تخيل أصغر التغيرات الممكنة على اللوحة، e2-e3 ، على أنها تُقابل إضافة كوانتم من الطاقة hv . في حين أن الانتقال e3-e2 سيقابل عندئذ إطلاق الكوانتم نفسه من الطاقة. ومع أنه تشبيه غير دقيق، فإنه يلقي الضوء على الطريقة التي تصف بها صور مختلفة من الرموز الحدثَ نفسه. وبالطريقة نفسها اكتشف كل من هايزنبرج وديراك وشرودنجر صورًا مختلفة من الرموز الرياضية لوصف الأحداث الكمية نفسها.

عندما عرفوه لأول مرة سنة ۱۹٠٠. وقد جاءت النتائج مفاجئة ومثيرة لأولئك الذين يجيدون التعامل مع الرياضيات وقد حلَّت معادلات مشابهة تتضمن المصفوفات محل معادلات ميكانيكا نيوتن يقول هايزنبرج: «كانت خبرة غريبة أن تكتشف أن العديد من النتائج القديمة لميكانيكا نيوتن مثل حفظ الطاقة وغيره من نتائج، يمكن استنباطه أيضًا في النظام الجديد.» ⁽¹⁾ بعبارة أخرى، «تضمَّنت» ميكانيكا المصفوفات في داخلها ميكانيكا نيوتن تماما مثلما كانت معادلات أينشتاين النسبية تتضمن معادلات نيوتن بوصفها حالة خاصة وللأسف لم يفهم هذه الرياضيات إلا عدد قليل من الناس، ولم يعترف معظم الفيزيائيين في الحال بمدى أهمية الإنجاز الذي قدمه هايزنبرج وفريق جوتينجن. ومع ذلك، كان هناك استثناء وحيد في كامبريدج بإنجلترا.

كان بول ديراك يصغر هايزنبرج ببضعة أشهر فقط؛ فقد ولد في 8 أغسطس سنة ١٩٠٢. ويُعَدُّ ديراك العالم النظري الإنجليزي الوحيد الذي يمكن أن يُوضع في مرتبة نيوتن، وقد قدَّم أكثر النسخ اكتمالاً لما يُعرَف اليوم بميكانيكا الكم. إلا أنه لم يتجه نحو الفيزياء النظرية إلا بعد تخرجه في جامعة بريستول سنة ۱۹۲۱ وحصوله على بكالوريوس الهندسة. لم يجد وظيفةً في مجال الهندسة وعُرضت عليه فرصة دراسة الرياضيات في كامبريدج، لكنه لم يقبلها نظرًا لقلة المال، وأثناء إقامته في بريستول مع والديه حصل على دورة دراسية في الرياضيات مدتها ثلاث سنوات أنهاها في عامين فقط بفضل دراسته للهندسة، وحصل على بكالوريوس الرياضيات التطبيقية سنة ١٩٢٣. واستطاع بذلك التوجه إلى كامبريدج لإجراء أبحاث مدعمة بمنحة من إدارة البحث العلمي والصناعي، وما إن وصل إلى كامبريدج حتى علم لأول مرة بنظرية الكم.

وهكذا كان ديراك طالبًا باحثًا غير معروف وتعوزه الخبرة عندما استمع إلى محاضرة هايزنبرج في كامبريدج في يوليو ۱۹۲٥، ومع أن هايزنبرج لم يتحدث علنا عن بحثه الجديد حينئذ، إلا أنه أشار إليه في حديثه مع رالف فاولر، المشرف على ديراك، ونتيجة لذلك أرسل إلى فاولر نسخةً من مسوَّدة البحث في منتصف أغسطس قبل ظهوره في مجلة «تسايتشريفت». أعطى فاولر البحث إلى ديراك الذي اطلع عليه قبل أي شخص آخر من خارج جوتينجن (ما عدا صديق هايزنبرج باولي)، فأُتيحت له الفرصة لدراسة النظرية الجديدة في هذا البحث الأول، ومع أن هايزنبرج قد أشار إلى خاصية اللاتبادلية للمتغيرات في ميكانيكا الكم – المصفوفات - فإنه لم يطوّر الفكرة، لكنه حاول أن يحوم حولها بحذر. وعندما فهم المعادلات وأتقنها، أدرك في الحال الأهمية الجوهرية للحقيقة البسيطة بأن a × b = b × a وعلى عكس هايزنبرج، كان ديراك يعلم بالفعل كميات رياضية تسلك هذا المسلك نفسه، وفي غضون بضعة أسابيع كان في مقدوره إعادة معالجة معادلات هايزنبرج بمصطلحات فرع من الرياضيات كان قد طوره ويليام هاميلتون منذ قرن من الزمن. وكان من أظرف المفارقات العلمية أن معادلات هاميلتون التي أثبتت أنها مفيدة للغاية في نظرية الكم الجديدة، التي تخلصت تمامًا من فكرة مدارات الإلكترونات قد وُضِعَت في القرن التاسع عشر لتكون وسيلة مساعدة في الحسابات المتعلقة بمدارات الأجسام في نظام ما، مثل المجموعة الشمسية؛ حيث يوجد العديد من الكواكب التي تتفاعل بعضها مع بعض.

وهكذا اكتشف ديراك مستقلا —عن مجموعة جوتينجن— أن معادلات ميكانيكا الكَم ذاتُ بنية رياضية مماثلة لمعادلات الميكانيكا الكلاسيكية، وأنَّ الميكانيكا الكلاسيكية مضمنة في ميكانيكا الكم كحالة خاصة؛ حيث تُقابل أعدادًا كمية كبيرة أو تفترض أن ثابت بلانك يساوي صفرًا. وضع ديراك طريقةً أخرى للتعبير رياضيا عن الديناميكيات، متبعًا نهجه الخاص باستخدام صورة خاصة من الجبر، أطلق عليها الجبر الكمي، وتتضمن عمليات جمع وضرب للمتغيرات الكمية، أو «أعداد q»، وأعداد q هذه غريبة ومبهمة، ولا سيما أن من المستحيل في عالم الرياضيات الذي طوره ديراك القول أي العددين a وb هو الأكبر، ولا مكان في هذا الفرع من الجبر لمفهوم أن يكون عدد ما أكبر أو أصغر من عدد آخر. ولكن، مرة أخرى، تناسبت قواعد هذا النظام الرياضية وجاءت مطابقة تماما لمشاهدات سلوك العمليات الذرية. وفي الحقيقة من الصواب القول إن الجبر الكمي يتضمن ميكانيكا المصفوفات في داخله، غير أنه يقوم بما هو أكثر من ذلك بكثير.

أدرك فاولر على الفور أهمية بحث ديراك، وبإيعاز منه نشر البحث في «وقائع الجمعية الملكية» في ديسمبر ١٩٢٥. وقد تضمن البحثُ ضمن أشياء أخرى، وكمكون أساسي في النظرية الجديدة، أعداد الكم نصف الصحيحة التي استحوذت على ذهن هايزنبرج منذ بضع سنوات مضت أرسل هايزنبرج نسخةً من مخطوطة البحث الذي كتبه ديراك وكان سخيًّا في مديحه: «لقد قرأتُ بحثك الرائع للغاية عن ميكانيكا الكم باهتمام بالغ، ولا يوجد شك على الإطلاق في صحة كل النتائج التي قدمتها ... و (البحث) مكتوب عن جد بأسلوب أفضل وأكثر تركيزا من محاولاتنا هنا.⁽²⁾ وفي النصف الأول من سنة ١٩٢٦ استأنف ديراك البحث في سلسلة من أربع أوراق بحثية حاسمة ودقيقة، ليتكون منها جميعًا رسالته التي منح على أساسها درجة الدكتوراه عن جدارة. وأثناء ذلك كله، استخدم باولي أساليب قائمة على المصفوفات للتنبؤ بطريقة صحيحة بسلسلة بالمر لذرة الهيدروجين وبحلول نهاية سنة ۱۹۲٥ أصبح واضحًا أن انقسام بعض خطوط الطيف إلى ثنائيات يمكن تفسيره في الحقيقة بوضع خاصية جديدة تسمى الحركة المغزلية للإلكترون. وقد توافقت النتائج والآراء معًا على نحو جيد للغاية، وبات واضحا أن الأدوات الرياضية المختلفة التي استخدمها مختلف أنصار ميكانيكا المصفوفات كانت مجرد جوانب مختلفة للحقيقة نفسها. ⁽³⁾

ومرة أخرى يمكن أن تساعد لعبة الشطرنج في إيضاح ذلك. هناك عدة طرق مختلفة تصف مباراة في الشطرنج في الصفحة المطبوعة. وإحدى هذه الطرق أن يُطبع شكل يمثل «لوحة الشطرنج» مع توضيح مواقع كل القطع، لكن ذلك سيشغل حيزا كبيرًا إذا أردنا وصفَ مباراة كاملة. وثمة طريقة أخرى وهي أن تُسمِّي القطع التي تتحرك: «بيدق الملك إلى بيدق الملك أربعة.» وفي أكثر الطرق اختصارًا تُستخدم الرموز الجبرية لوصف الحركة نفسها ببساطة. d2-d4. وهكذا تعطينا طرقُ الوصف الثلاث المختلفة المعلومات نفسها عن حدث حقيقي، وهو انتقال بيدق من حالة إلى أخرى (وكما في عالم الكم تماما، فإننا لا نعرف شيئًا عن الكيفية التي انتقل بها البيدق من حالة إلى أخرى، وهي النقطة التي تصبح أكثر وضوحًا إذا فكرنا في حركة الحصان في لعبة الشطرنج). وتكون الصياغات المختلفة لميكانيكا الكم على هذا النحو ويُعتبر الجبر الكمي لديراك الأكثر أناقة وجمالا» بالمفهوم الرياضي، أما طريقة المصفوفات التي وضعها بورن ومعاونوه في أعقاب هايزنبرج، فهي أقل إتقاناً ولكنها ليست أقل فعالية. ⁽⁴⁾

وقد جاء بعض من أكثر نتائج ديراك المبكرة إثارة عندما حاول تضمين النسبية الخاصة في ميكانيكا الكم الخاصة به. سعد ديراك كثيرًا بفكرة أن الضوء عبارة عن جسيمات (فوتونات)، وابتهج باكتشاف أنه بإدخال الزمن في صورة عدد q مع بقية الأعداد في معادلاته سيتوصل حتمًا إلى «التنبؤ» بأن الذرة لا بد أن ترتد عندما تشع الضوء، وهو ما يجب أن تفعله إذا كان الضوء على شكل جسيمات لها الزخم الخاص بها، وواصل ديراك أبحاثه ليضع تفسيرًا من ميكانيكا الكم لتأثير كومبتون. انقسمت حسابات ديراك إلى قسمين: الأول هو معالجة بارعة بالأعداد تضمنت أعداد q، أما الثاني فهو تفسير المعادلات من حيث ما يمكن مشاهدته فيزيائيا. وتتشابه هذه العملية تماما مع الطريقة التي يبدو أن الطبيعة تُجري بها حساباتها ثم تقدم لنا حدثًا يمكن مشاهدته فيزيائيا - مثل انتقال الإلكترون- لكن لسوء الحظ، بدلًا من مواصلة هذه الفكرة حتى النهاية في السنوات التي تلت ١٩٢٦، انشغل الفيزيائيون عن الجبر الكمي باكتشاف أسلوب رياضي آخر يمكنه حلُّ المشكلات القائمة منذ فترة طويلة في نظرية الكم؛ الميكانيكا الموجية. بدأت ميكانيكا المصفوفات والجبر الكمي من تصور الإلكترون على أنه جسيم ينتقل من حالة كمومية إلى أخرى.

هوامش

(1) Physics and Philosophy, page 41.

 (2) Quoted by Mehra and Rechenberg, volume 4, page 159.

(3) In Dirac’s version of quantum mechanics, a key expression in the Hamiltonian equations is replaced by the quantum mechanical expression (ab - ba)/iħ, which is just another form of the expression Born, Heisenberg, and Jordan called the “fundamental quantummechanical relation”, in their three-man paper, written before Dirac’s first paper on quantum mechanics appeared, but published after Dirac’s paper.

(4) With characteristic, and genuine, modesty Dirac has described how easy it was to make progress once it was known that the correct quantum equations were simply classical equations put into Hamiltonian form. For any of the little puzzles that beset quantum theory, all that was necessary was to set up the equivalent classical equations, turn them into Hamilto-nians, and solve the puzzle. “It was a game, a very interesting game one could play. Whenever one solved one of the little problems, one could write a paper about it. It was very easy in those days for any second-rate physi-cist to do first-rate work. There has not been such a glorious time since then. It is very difficult now for a first-rate physicist to do second-rate work.” (Directions in Physics, page 7.)