A lattice-ordered set is a poset  in which each two-element subset {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Lattice-OrderedSet/Inline2.gif" style="height:15px; width:32px" /> has an infimum, denoted {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Lattice-OrderedSet/Inline3.gif" style="height:15px; width:52px" />, and a supremum, denoted {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Lattice-OrderedSet/Inline4.gif" style="height:15px; width:54px" />. There is a natural relationship between lattice-ordered sets and lattices. In fact, a lattice  is obtained from a lattice-ordered poset  by defining {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Lattice-OrderedSet/Inline7.gif" style="height:15px; width:96px" /> and {a,b}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Lattice-OrderedSet/Inline8.gif" style="height:15px; width:98px" /> for any . Also, from a lattice , one may obtain a lattice-ordered set  by setting  in  if and only if . One obtains the same lattice-ordered set  from the given lattice by setting  in  if and only if . (In other words, one may prove that for any lattice, , and for any two members  and  of ,  if and only if .)

Lattice-ordered sets abound in mathematics and its applications, and many authors do not distinguish between them and lattices. From a universal algebraist's point of view, however, a lattice is different from a lattice-ordered set because lattices are algebraic structures that form an equational class or variety, but lattice-ordered sets are not algebraic structures, and therefore do not form a variety.

A lattice-ordered set is bounded provided that it is a bounded poset, i.e., if it has an upper bound and a lower bound. For a bounded lattice-ordered set, the upper bound is frequently denoted 1 and the lower bound is frequently denoted 0. Given an element  of a bounded lattice-ordered set , we say that  is complemented in  if there exists an element  such that  and .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد