المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24


Ordered Factorization  
  
1574   05:10 مساءً   date: 14-9-2020
Author : Chor, B.; Lemke, P.; and Mador, Z.
Book or Source : "On the Number of Ordered Factorizations of Natural Numbers." Disc. Math. 214
Page and Part : ...


Read More
Date: 21-10-2020 840
Date: 21-1-2021 704
Date: 22-4-2020 2296

Ordered Factorization

An ordered factorization is a factorization (not necessarily into prime factors) in which a×b is considered distinct from b×a. The following table lists the ordered factorizations for the integers 1 through 10.

n # ordered factorizations
1 1 1
2 1 2
3 1 3
4 2 2·2, 4
5 1 5
6 3 2·33·2, 6
7 1 7
8 4 2·2·22·44·2, 8
9 2 3·3, 9
10 3 2·55·2, 10

The numbers of ordered factorizations H(n) of n=1, 2, ... are given by 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, ... (OEIS A074206). This sequence has the Dirichlet generating function

 f(s)=1/(2-zeta(s)),

(1)

where zeta(s) is the Riemann zeta function.

A recurrence equation for H(n) is given by

 H(n)=sum_(d|n)H(d),

(2)

where the sum is over the divisors of n and H(1)=1 (Hille 1936, Knopfmacher and Mays 2006). Another recurrence also due to Hille (1936) for n>1 is given by

 H(n)=2[sum_(p_i)H(n/(p_i))-sum_(p_1,p_2)H(n/(p_ip_j))+...+(-1)^(r-1)H(n/(p_1p_2...p_r))],

(3)

where H(1)=1/2 and

 n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r)

(4)

is the prime factorization of n (Knopfmacher and Mays 1996).

MacMahon (1893) derived the beautiful double sum formula

 H(n)=sum_(j=1)^qsum_(i=0)^(j-1)(-1)^i(j; i)product_(k=1)^r(alpha_k-j-i-1; alpha_k),

(5)

where

 q=sum_(k=1)^ralpha_k

(6)

(Knopfmacher and Mays 1996). In the case that n is a product of two prime powers,

 n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2),

(7)

Chor et al. (2000) showed that

H(n) = 2^(alpha_1+alpha_2-1)sum_(k=0)^(alpha_2)(alpha_1; k)(alpha_2; k)2^(-k)

(8)

= 2^(alpha_2-1)_2F_1(-alpha_1,alpha_2+1;1;-1),

(9)

where _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function.

The number of ordered factorizations of n is equal to the number of perfect partitions of n-1 (Goulden and Jackson 1983, p. 94).


REFERENCES:

Chor, B.; Lemke, P.; and Mador, Z. "On the Number of Ordered Factorizations of Natural Numbers." Disc. Math. 214, 123-133, 2000.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 126, 1974.

Goulden, I. P. and Jackson, D. M. Problem 2.5.12 in Combinatorial Enumeration. New York: Wiley, p. 94, 1983.

Hille, E. "A Problem in 'Factorisatio Numerorum.' " Acta Arith. 2, 134-144, 1936.

Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 141, 1985.

Knopfmacher, A. and Mays, M. "Ordered and Unordered Factorizations of Integers." Mathematica J. 10, 72-89, 2006.

MacMahon, P. A. "Memoir on the Theory of the Compositions of Numbers." Philos. Trans. Roy. Soc. London (A) 184, 835-901, 1893.

Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 124, 1980.

Sloane, N. J. A. Sequence A074206 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Warlimont, R. "Factorisatio Numerorum with Constraints." J. Number Th. 45, 186-199, 1993.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.