المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
Postnominal adjectives in English
2025-04-07
القفازات transposones
2025-04-07
إحيائية نيماتودا تعقد الجذور (Meloidogynidae spp.)
2025-04-07
وظائف اعادة الارتباط المتماثل
2025-04-07
Ezafe construction again
2025-04-07
قاعدة الاشتراك في الدولة الاتحادية
2025-04-07

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
ندغ بستاني Satureja hortensis
8-11-2020
الرطوبة (Moisture)
2024-01-11
أهمية الإدارة الإستراتيجية
28-7-2016
[علي (عليه السلام) باب مدينة العلم]
20-10-2015
سلطة تعديل القرارات
13-6-2016
ادوات النحالة
7-6-2016

Pi Squared  
  
729   03:51 مساءً   date: 10-3-2020
Author : Bailey, D. H.; Borwein, P.; and Plouffe, S.
Book or Source : "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66
Page and Part : ...


Read More
Prime Triangle
Date: 10-1-2021 749
Lebesgue Minimal Problem
Date: 10-2-2020 1597
Generalized Remainder Method
Date: 24-10-2019 741

Pi Squared

There is a series of BBP-type formulas for pi^2 in powers of (-1)^k,

pi^2 = 12sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((k+1)^2)

(1)
= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[(13)/((3k+1)^2)-(13)/((3k+2)^2)+4/((3k+3)^2)]

(2)
= 12sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((5k+1)^2)-1/((5k+2)^2)+1/((5k+3)^2)-1/((5k+4)^2)+1/((5k+5)^2)]

(3)
= 12sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((7k+1)^2)-1/((7k+2)^2)+1/((7k+3)^2)-1/((7k+4)^2)+1/((7k+5)^2)-1/((7k+6)^2)+1/((7k+7)^2)]

(4)
= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[(13)/((7k+1)^2)-(13)/((7k+2)^2)+(13)/((7k+3)^2)-(13)/((7k+4)^2)+(13)/((7k+5)^2)-(13)/((7k+6)^2)-(36)/((7k+7)^2)]

(5)
= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[(13)/((9k+1)^2)-(13)/((9k+2)^2)+4/((9k+3)^2)-(13)/((9k+4)^2)+(13)/((9k+5)^2)-4/((9k+6)^2)+(13)/((9k+7)^2)-(13)/((9k+8)^2)+4/((9k+9)^2)].

(6)

2^k,

pi^2 = sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)[8/((8k+1)^2)-8/((8k+2)^2)-4/((8k+3)^2)-8/((8k+4)^2)-2/((8k+5)^2)-2/((8k+6)^2)+1/((8k+7)^2)]

(7)
= 9/8sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)[(16)/((6k+1)^2)-(24)/((6k+2)^2)-8/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)]

(8)
= 1/8sum_(k=0)^(infty)1/(256^k)[(128)/((16k+1)^2)-(128)/((16k+2)^2)-(128)/((16k+3)^2)-(128)/((16k+4)^2)-(32)/((16k+5)^2)-(32)/((16k+6)^2)+(16)/((16k+7)^2)+8/((16k+9)^2)-8/((16k+10)^2)-4/((16k+11)^2)-8/((16k+12)^2)-2/((16k+13)^2)-2/((16k+14)^2)+1/((16k+15)^2)]

(9)
= 9/(512)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(1024)/((12k+1)^2)-(1536)/((12k+2)^2)-(512)/((12k+3)^2)-(384)/((12k+4)^2)+(64)/((12k+5)^2)+(16)/((12k+7)^2)-(24)/((12k+8)^2)-8/((12k+9)^2)-6/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)]

(10)

some of which are noted by Bailey et al. (1997), and 3^k,

pi^2 = 2/(27)sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(405)/((12k+2)^2)-(81)/((12k+4)^2)-(27)/((12k+5)^2)-(72)/((12k+6)^2)-9/((12k+7)^2)-9/((12k+8)^2)-5/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)]

(11)
= 2sum_(k=0)^(infty)1/(531441^k)[(177147)/((24k+1)^2)-(295245)/((24k+2)^2)-(59049)/((24k+4)^2)-(19683)/((24k+5)^2)-(52488)/((24k+6)^2)-(6561)/((24k+7)^2)-(6561)/((24k+8)^2)-(3645)/((24k+10)^2)+(729)/((24k+11)^2)+(243)/((24k+13)^2)-(405)/((24k+14)^2)-(81)/((24k+16)^2)-(27)/((24k+17)^2)-(72)/((24k+18)^2)-9/((24k+19)^2)-9/((24k+20)^2)-5/((24k+22)^2)+1/((24k+23)^2)].

(12)

Another identity is

pi^2=36Li_2(1/2)-36Li_2(1/4)-12Li_2(1/8)+6Li_2(1/(64)),

(13)

where Li_n is the polylogarithm. (13) is equivalent to

pi^2=12Li_2(1/2)+6(ln2)^2

(14)

(Bailey et al. 1997).

REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, P.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
دخلت غرفة فنسيت ماذا تريد من داخلها.. خبير يفسر الحالة
التاريخ / 2025-04-04

الأخبار العلمية
ثورة طبية.. ابتكار أصغر جهاز لتنظيم ضربات القلب في العالم
التاريخ / 2025-04-04

الساحة الاسلامية
سماحة السيد الصافي يؤكد ضرورة تعريف المجتمعات بأهمية مبادئ أهل البيت (عليهم السلام) في إيجاد حلول للمشاكل الاجتماعية
التاريخ / 2025-04-07