المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
الامطار في الوطن العربي
2024-11-05
ماشية اللحم في استراليا
2024-11-05
اقليم حشائش السافانا
2024-11-05
اقليم الغابات المعتدلة الدافئة
2024-11-05
ماشية اللحم في كازاخستان (النوع كازاك ذو الرأس البيضاء)
2024-11-05
الانفاق من طيبات الكسب
2024-11-05


Lommel Function  
  
2660   02:09 مساءً   date: 25-3-2019
Author : Born, M. and Wolf, E.
Book or Source : Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, and Diffraction of Light, 6th ed.New York: Pergamon Press, 1989.
Page and Part : ...


Read More
Date: 23-5-2019 1577
Date: 21-8-2018 1902
Date: 9-10-2019 1561

Lommel Function

 

There are several functions called "Lommel functions." One type of Lommel function appear in the solution to the Lommel differential equation and are given by

(1)

where _1F_2 and _0F_1 are generalized and confluence hypergeometric functions, respectively and s_(mu,nu)^((1))(z) is typically denoted just as s_(mu,nu)(z).

s_(mu,nu)(z) is also given by

 s_(mu,nu)(z)=1/2pi[Y_nu(z)int_0^zz^muJ_nu(z)dz-J_nu(z)int_0^zz^muY_nu(z)dz],

(2)

where J_nu(z) and Y_nu(z) are Bessel functions of the first and second kinds (Watson 1966, p. 346; Gradshteyn and Ryzhik 2000, pp. 936-937).

If a minus sign precedes the z^(mu+1) term in the general form of Lommel differential equation, then the solution is

 s_(mu,nu)^((-))=I_nu(z)int_z^(c_1)z^muK_nu(z)dz-J_nu(z)int_(c_2)^zz^muI_nu(z)dz,

(3)

where K_nu(z) and I_nu(z) are modified Bessel functions of the first and second kinds.

A function S_(mu,nu)(z) closely related to s_(mu,nu)(z) is also sometimes defined (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 936).

Lommel functions of two variables are related to the Bessel function of the first kind and arise in the theory of diffraction (Chandrasekhar 1960, p. 369) and, in particular, Mie scattering (Watson 1966, p. 537),

U_n(w,z) = sum_(m=0)^(infty)(-1)^m(w/z)^(n+2m)J_(n+2m)(z)

(4)

V_n(w,z) = sum_(m=0)^(infty)(-1)^m(w/z)^(-n-2m)J_(-n-2m)(z).

(5)

These functions were first defined by Lommel (1884-1886ab). Note that the definition (5) of V_n(w,z) differs by a factor of (-1)^n from the modern convention (Watson 1966, p. 537) and from the definition of Born and Wolf (1989, p. 438).


REFERENCES:

Born, M. and Wolf, E. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, and Diffraction of Light, 6th ed.New York: Pergamon Press, 1989.

Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. New York: Dover, p. 369, 1960.

Gilbert, L. P. "Recherches analytiques sur la diffraction de la lumière." Mém. courmonnées de l'Acad. R. des Sci. de Bruxelles 31, 1-52, 1863.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 936-937, 2000.

Gray, A. and Mathews, G. B. Ch. 14 in A Treatise on Bessel Functions and Their Applications to Physics, 2nd ed. New York: Dover, 1966.

Hardy, G. H. "General Theorems in Contour Integration with Some Applications." Quart. J. 32, 369-384, 1901.

Hardy, G. H. "On Certain Definite INtegrals Whose Values Can be Expressed in Terms of Bessel's Functions." Messenger Math.38, 129-132, 1909.

Lommel, E. C. J. von. "Die Beugungserscheinungen einer kreisrunden Oeffnung und eines kreisrunden Schirmchens theoretisch und experimentell bearbeitet." Abh. der math. phys. Classe der k. b. Akad. der Wiss. (München) 15, 229-328, 1884-1886a.

Lommel, E. C. J. von. "Die Beugungserscheinungen geradlinig begrenzter Schirme." Abh. der math. phys. Classe der k. b. Akad. der Wiss. (München) 15, 529-664, 1884-1886b.

Mayall, R. H. D. "On the Diffraction Pattern near the Focus of a Telescope." Proc. Cambridge Philos. Soc. 9, 259-269, 1898.

Pocklington, H. C. "Growth of a Wave-Group When the Group-Velocity Is Negative." Nature 71, 607-608, 1905.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Lommel Functions s_(mu,nu)(x) and S_(mu,nu)(x)." §1.5 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 28-29, 1990.

Schafheitlin, F. "Beziehungen zwischen dem Integrallogarithmus und den Besselschen Funktionen." Berliner Sitzungsber. 8, 62-67, 1909.

Walker, J. The Analytical Theory of Light. London: Cambridge University Press, p. 396, 1904.

Watson, G. N. §16.5-16.59 in A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 537-550, 1966.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.