المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
تـشكيـل اتـجاهات المـستـهلك والعوامـل المؤثـرة عليـها
2024-11-27
النـماذج النـظريـة لاتـجاهـات المـستـهلـك
2024-11-27
{اصبروا وصابروا ورابطوا }
2024-11-27
الله لا يضيع اجر عامل
2024-11-27
ذكر الله
2024-11-27
الاختبار في ذبل الأموال والأنفس
2024-11-27

فيروس النقرة الحجرية في الكمثرى (العرموط)
26-6-2018
المـدخـل الى الفـكـر الكـلاسيـكـي
26-10-2019
Maxim flouts
2023-12-27
طرق تكاثر الاناناس
2023-08-24
الإنتاج الحيواني - امراض الدواجن- الامراض الفيروسية - مرض غدة فابريشيا (IBD)
7-6-2021
Theodor Molien
27-3-2017

Masser-Gramain Constant  
  
1743   05:32 مساءً   date: 23-1-2019
Author : Finch, S. R
Book or Source : Masser-Gramain Constant." §7.2 Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 4-3-2017 6885
Date: 6-3-2017 1119
Date: 17-2-2019 2929

Masser-Gramain Constant

 

Let f(z) be an entire function such that f(n) is an integer for each positive integer n. Then Pólya (1915) showed that if

 lim sup_(r->infty)(lnM_r)/r<ln2=0.693...

(1)

(OEIS A002162), where

 M_r=sup_(|z|<=r)|f(x)|

(2)

is the supremum, then f is a polynomial. Furthermore, ln2 is the best constant (i.e., counterexamples exist for every smaller value).

If f(z) is an entire function with f(n) a Gaussian integer for each Gaussian integer n, then Gelfond (1929) proved that there exists a constant alpha such that

 lim sup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha

(3)

implies that f is a polynomial. Gramain (1981, 1982) showed that the best such constant is

 alpha=pi/(2e)=0.5778...

(4)

(OEIS A086056).

Maser (1980) proved the weaker result that f must be a polynomial if

 lim sup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha_0,

(5)

where

 alpha_0=1/2exp(-delta+(4c)/pi),

(6)

and

c =

(7)

= 1/4pi{2gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}

(8)

 approx 0.64624543989481...

(9)

(OEIS A086057), gamma is the Euler-Mascheroni constant, beta(z) is the Dirichlet beta function, Gamma(z) is the gamma function,

 delta=lim_(n->infty)(sum_(k=2)^n1/(pir_k^2)-lnn)

(10)

is known as the Masser-Gramain constant, and r_k is the minimum nonnegative r for which there exists a complex number z for which the closed disk with center z and radius r contains at least k distinct Gaussian integers.

Gramain and Weber (1985, 1987) have obtained

 1.811447299<delta<1.897327117,

(11)

which implies

 0.1707339<alpha_0<0.1860446.

(12)

Gramain (1981, 1982) conjectured that

 alpha_0=1/(2e),

(13)

which would imply

 delta=1+(4c)/pi=1.822825249...

(14)

(OEIS A086058).


REFERENCES:

Finch, S. R. "Masser-Gramain Constant." §7.2 Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 459-461, 2003.

Gosper, R. W. "http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html." math-fun@cs.arizona.edu posting, Sept. 27, 1996.

Gel'fond, A. O. "Sur un théorème de M. G. Pólya." Atti Accad. Naz. Lincei Rend. 10, 568-574, 1929.

Gramain, F. "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond." Invent. Math. 63, 495-506, 1981.

Gramain, F. "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond-Gruman-Masser." Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres), 1980-1981. Boston, MA: Birkhäuser, 1982.

Gramain, F. and Weber, M. "Computing and Arithmetic Constant Related to the Ring of Gaussian Integers." Math. Comput. 44, 241-245, 1985.

Gramain, F. and Weber, M. "Computing and Arithmetic Constant Related to the Ring of Gaussian Integers." Math. Comput. 48, 854, 1987.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 116-117, 2003.

Masser, D. W. "Sur les fonctions entières à valeurs entières." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 291, A1-A4, 1980.

Pólya, G. "Über ganzwertige ganze Funktionen." Rend. Circ. Mat. Palermo 40, 1-16, 1915.

Sloane, N. J. A. Sequences A002162/M4074, A086056, A086057, and A086058 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.