المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
ميعاد زراعة الجزر
2024-11-24
أثر التأثير الاسترجاعي على المناخ The Effects of Feedback on Climate
2024-11-24
عمليات الخدمة اللازمة للجزر
2024-11-24
العوامل الجوية المناسبة لزراعة الجزر
2024-11-24
الجزر Carrot (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-24
المناخ في مناطق أخرى
2024-11-24


Bernoulli Differential Equation  
  
1877   02:42 مساءً   date: 30-5-2018
Author : Boyce, W. E. and DiPrima, R. C
Book or Source : Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley
Page and Part : ...


Read More
Date: 30-12-2018 2413
Date: 26-12-2018 649
Date: 30-5-2018 669

Bernoulli Differential Equation

 (dy)/(dx)+p(x)y=q(x)y^n.

(1)

Let v=y^(1-n) for n!=1. Then

 (dv)/(dx)=(1-n)y^(-n)(dy)/(dx).

(2)

Rewriting (1) gives

y^(-n)(dy)/(dx) = q(x)-p(x)y^(1-n)

(3)

= q(x)-vp(x).

(4)

Plugging (4) into (3),

 (dv)/(dx)=(1-n)[q(x)-vp(x)].

(5)

Now, this is a linear first-order ordinary differential equation of the form

 (dv)/(dx)+vP(x)=Q(x),

(6)

where P(x)=(1-n)p(x) and Q(x)=(1-n)q(x). It can therefore be solved analytically using an integrating factor

v = (inte^(intP(x)dx)Q(x)dx+C)/(e^(intP(x)dx))

(7)

= ((1-n)inte^((1-n)intp(x)dx)q(x)dx+C)/(e^((1-n)intp(x)dx)),

(8)

where C is a constant of integration. If n=1, then equation (◇) becomes

 (dy)/(dx)=y(q-p)

(9)

 (dy)/y=(q-p)dx

(10)

 y=C_2e^(int[q(x)-p(x)]dx).

(11)

The general solution is then, with C_1 and C_2 constants,

 y={[((1-n)inte^((1-n)intp(x)dx)q(x)dx+C_1)/(e^((1-n)intp(x)dx))]^(1/(1-n))   for n!=1; C_2e^(int[q(x)-p(x)]dx)   for n=1.

(12)

 


REFERENCES:

Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.

Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.

Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69-71, 1964.

Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.

Zwillinger, D. "Bernoulli Equation." §II.A.37 in Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 120 and 157-158, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.