المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

-AX4E2 Molecules: ICl4
5-5-2019
حروب بني عدّي بن كعب بن لؤي في الإسلام
28-3-2021
زراعة وخدمة أشجار الرمان
2023-11-27
Laplacian Matrix
14-4-2022
Exact Covering System
8-1-2020
قصة الكشف عن بقايا الفرعون كامس.
2024-03-15

Harmonic Function  
  
1058   05:45 مساءً   date: 24-5-2018
Author : Ash, J. M
Book or Source : Studies in Harmonic Analysis. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1976.
Page and Part : ...


Read More
Date: 24-5-2018 636
Date: 30-5-2018 944
Date: 12-7-2018 590

Harmonic Function

Any real function u(x,y) with continuous second partial derivatives which satisfies Laplace's equation,

 del ^2u(x,y)=0,

(1)

is called a harmonic function. Harmonic functions are called potential functions in physics and engineering. Potential functions are extremely useful, for example, in electromagnetism, where they reduce the study of a 3-component vector field to a 1-component scalar function. A scalar harmonic function is called a scalar potential, and a vector harmonic function is called a vector potential.

To find a class of such functions in the plane, write the Laplace's equation in polar coordinates

 u_(rr)+1/ru_r+1/(r^2)u_(thetatheta)=0,

(2)

and consider only radial solutions

 u_(rr)+1/ru_r=0.

(3)

This is integrable by quadrature, so define v=du/dr,

 (dv)/(dr)+1/rv=0

(4)

 (dv)/v=-(dr)/r

(5)

 ln(v/A)=-lnr

(6)

 v/A=1/r

(7)

 v=(du)/(dr)=A/r

(8)

 du=A(dr)/r,

(9)

so the solution is

 u=Alnr.

(10)

Ignoring the trivial additive and multiplicative constants, the general pure radial solution then becomes

u = ln[(x-a)^2+(y-b)^2]^(1/2)

(11)

= 1/2ln[(x-a)^2+(y-b)^2].

(12)

Other solutions may be obtained by differentiation, such as

u = (x-a)/((x-a)^2+(y-b)^2)

(13)

v = (y-b)/((x-a)^2+(y-b)^2),

(14)

u = e^xsiny

(15)

v = e^xcosy,

(16)

and

 tan^(-1)((y-b)/(x-a)).

(17)

Harmonic functions containing azimuthal dependence include

u = r^ncos(ntheta)

(18)

v = r^nsin(ntheta).

(19)

The Poisson kernel

 u(r,R,theta,phi)=(R^2-r^2)/(R^2-2rRcos(theta-phi)+r^2)

(20)

is another harmonic function.


 

REFERENCES:

Ash, J. M. (Ed.). Studies in Harmonic Analysis. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1976.

Axler, S.; Bourdon, P.; and Ramey, W. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.

Benedetto, J. J. Harmonic Analysis and Applications. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

Cohn, H. Conformal Mapping on Riemann Surfaces. New York: Dover, 1980.

Krantz, S. G. "Harmonic Functions." §1.4.1 and Ch. 7 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 16 and 89-101, 1999.

Weisstein, E. W. "Books about Potential Theory." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/PotentialTheory.html.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.