Let  be a set of urelements that contains the set  of natural numbers, and let  be a superstructure whose individuals are in . Let  be an enlargement of , and let  be an algebra. Let  be a property of algebras, expressed in the first-order language for the superstructure . Then  is a hyper--algebra provided that it satisfies  in .

For example, let  be the property of "being finite." Then  is expressible in the first-order language for , since , and a hyper- algebra is just a hyperfinite algebra. One useful result involving hyperfinite algebras is the following: An algebra  is locally finite if and only if it has an hyperfinite extension in .

For another example, consider the property of being a simple group. Then a hyper-simple group in  is just a group  which has exactly two internal normal subgroups, namely the trivial subgroup and the whole group . If an internal group is simple, then it is hyper-simple. It is not known if every hyper-simple group is simple.

For any property , the following are equivalent:

1.  is finite generation-hereditary.

2. The following nonstandard characterization holds for : For any set  of urelements, an algebra  is a local P-algebra if and only if  has a hyper- extension in .

REFERENCES:

Gehrke, M.; Kaiser, K.; and Insall, M. "Some Nonstandard Methods Applied to Distributive Lattices." Zeitschrifte für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 36, 123-131, 1990.

Insall, M. "Nonstandard Methods and Finiteness Conditions in Algebra." Zeitschr. f. Math., Logik, und Grundlagen d. Math. 37, 525-532, 1991.

Insall, M. "Some Finiteness Conditions in Lattices Using Nonstandard Proof Methods." J. Austral. Math. Soc. 53, 266-280, 1992.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

أهالي كربلاء يشيعون النعش الرمزي للإمام الحسن (عليه السلام) عند العتبتين المقدستين

العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء بذكرى شهادة الإمام الحسن (عليه السلام)

قاعة العرض المتحفي في العتبة العباسية المقدسة تشهد إقبالًا واسعًا من الزائرين

خلال لقائه ملاكات مدارس العميد.. سماحة السيّد الصافي يؤكّد أهمّية التعلّم المستمرّ الذي يفتح آفاق الفهم والمعرف

المزيد

الآخبار الصحية

تسارع الشيخوخة.. متى يبدأ وأي الأعضاء أكثر تأثرا؟

9 مسببات شائعة للالتهاب المزمن قد تهدد صحتك

باحثون يطورون علاجا لهشاشة العظام.. النتائج مذهلة

تحمي من أمراض عديدة.. 6 فوائد لتناول البطاطا الحلوة

المزيد

الآخبار التكنلوجية

عودة التعاون الفضائي بين روسيا وأميركا.. وبحث ملفات "هامة"

المعلمون في خطر.. خاصية جديدة في "تشات جي بي تي" تشرح الدروس

بشرى لمرضى الشلل.. شريحة في الدماغ قد تتيح التحكم بالأدوات

مدينة غارقة.. هل يخفي قاع البحر الكاريبي سرّ حضارة مفقودة؟

المزيد