Coaxial Cable and Surface Charge

A very long coaxial cable consists of an inner cylinder of radius a and isotropic conductivity σ and a concentric outer cylinder of radius b. The outer shell has infinite conductivity. The space between the cylinders is empty. A uniform, constant current density J, directed along the axial coordinate z, is maintained in the inner cylinder. Return current flows

Figure 1.1

uniformly in the outer shell (see Figure 1.1). Compute the surface charge density on the inner cylinder as a function of the axial coordinate z, with the origin z = 0 chosen to be the plane halfway between the two ends of the cable.

SOLUTION

Write down Laplace’s equation in the region between the cylinders in cylindrical coordinates:

By cylindrical symmetry, ϕ does not depend on φ (see Figure 1.2), so

Figure 1.2

Laplace’s equation reduces to

(1)

As usual, we look for a solution in the form

and (1) becomes

(2)

From (2), we have

(3)

where k is a constant. By translational symmetry along the z-axis

so k = 0, and

where α and β are constants. The radial part then becomes

(4)

So

(5)

Imposing the boundary condition that ϕ (ρ, 0) = 0 leads to β = 0, and we have

(6)

where à is a constant (à = αA). We may write the potential differences along the cable as

(7)

where we used J = σE, the uniformity of the current density J and isotropic electrical conductivity. We now have

(8)

From (8), we find

(9)

(10)

For ρ < a, the potential is the same as on the surface, and from (7)and (9)

The surface charge density is

where a⁺ and a^- correspond to the points outside and inside the inner cylinder, respectively.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد

مواضيع ذات صلة

جسيمات التماثل الفائق الفوتينوات ، سكواركات ..المادة الظل.. الأكسيونات ..إلخ .

ريادةالانسان للفضاء -قدرة الله في خلق الطيور(كيف الهمت الطيور الانسان )

التجريبية المنطقية وميكانيكا الكم: رؤية كاسيرر بين العلم والفلسفة

المفاهيم الفيزيائية بين الدقة العلمية والتأويل الفلسفي

"توحيد العلوم عبر استبعاد الميتافيزيقا

إرنست ماخ: توحيد الفيزياء عبر الإدراكات الحسية واستبعاد الميتافيزيقا

"الفيزياء بين الكلاسيكية والكم: من حتمية الأشياء إلى نسبية القوانين"

قوانين البقاء في الفيزياء The Conservation Laws of Physics

من كاسيرر إلى ميكانيكا الكم: تطور مفهوم السببية في الفيزياء والفلسفة

نظرة فلسفية لميكانيكا الكم: هل يمكن فهم الحياة بمفاهيم الفيزياء؟

الطول والزمن في النسبية: التحدي الفيزيائي للفلسفة التقليدية

نسبية الطول بين الفيزياء والفلسفة: أينشتاين في مواجهة فالين