المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

علم الفيزياء
عدد المواضيع في هذا القسم 11580 موضوعاً
الفيزياء الكلاسيكية
الفيزياء الحديثة
الفيزياء والعلوم الأخرى
مواضيع عامة في الفيزياء

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
ميعاد زراعة الجزر
2024-11-24
أثر التأثير الاسترجاعي على المناخ The Effects of Feedback on Climate
2024-11-24
عمليات الخدمة اللازمة للجزر
2024-11-24
العوامل الجوية المناسبة لزراعة الجزر
2024-11-24
الجزر Carrot (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-24
المناخ في مناطق أخرى
2024-11-24

العلاقات الخارجية للدولة - العلاقات السياسية
2023-02-24
مذهب ذري atomism
23-5-2017
Solvent Effects (δ values)
13-8-2018
الاتجاهات الرئيسية لمحاسبة المسؤولية الاجتماعية- الاتجاه الثاني
4-3-2019
آداب تتعلق بالحامل والمولود
19-1-2016
أندرونيكوس الأول (1182–1185)
2023-11-07

Nonlinear Oscillator  
  
1152   04:21 مساءاً   date: 28-7-2016
Author : Sidney B. Cahn And Boris E. Nadgorny
Book or Source : A GUIDE TO PHYSICS PROBLEMS
Page and Part : part 1 , p 22

Nonlinear Oscillator

a) A nonlinear oscillator has a potential V(x) given by

with λ a small parameter. Find the solution of the equations of motion to first order in λ, assuming x = 0 at t = 0.

b) Comment on the temperature dependence of the thermal expansion coefficient, if the interaction of the atoms in a solid is described by V(x) from (a).

SOLUTION

a) The Lagrangian for the potential V(x) is

Therefore, the equation of motion for the nonlinear harmonic oscillator is

(1)

where is the principal frequency of a harmonic oscillator. We will look for a solution of the form

(2)

Where x(0) is a solution of a harmonic oscillator equation

(3)

Since we are looking only for the first order corrections, we do not have to consider a frequency shift in the principal frequency ω0. The solution of equation (3) with initial condition x(0) = 0 is x(0) = A sin ω0t. Substituting this into (1) and using (2), we obtain an equation for x(1) (leaving only the terms which are first order in λ).

(4)

or

(5)

The solution for x(1) is a sum of the solutions of the linear homogeneous and the linear inhomogeneous equations:

(6)

where is the inhomogeneous solution of the form

(7)

Substituting (6) and (7) into (5), we obtain 

So

(8)

Using the initial condition x(1)(0) = 0 we obtain C = -2A2/3ω20. The solution of the equation of motion (1) will be

(9)

where is A' defined from initial conditions.

b) The average of <x> over a period T = 2π/ω0 is certainly nonzero for a given amplitude of oscillation A. Inspection of (9) reveals that

(10)

To take into account the energy distribution of the amplitude, we have to calculate the thermodynamical average of <x> as a function of temperature

(11)

where τ is the temperature in energy units and is Boltzmann’s constant.

(12)

The amplitude of the oscillator as a function of energy is given by

(13)

Substituting (13) into (12) gives

(14)

This result can explain the nonzero thermal expansion coefficient of solids.




هو مجموعة نظريات فيزيائية ظهرت في القرن العشرين، الهدف منها تفسير عدة ظواهر تختص بالجسيمات والذرة ، وقد قامت هذه النظريات بدمج الخاصية الموجية بالخاصية الجسيمية، مكونة ما يعرف بازدواجية الموجة والجسيم. ونظرا لأهميّة الكم في بناء ميكانيكا الكم ، يعود سبب تسميتها ، وهو ما يعرف بأنه مصطلح فيزيائي ، استخدم لوصف الكمية الأصغر من الطاقة التي يمكن أن يتم تبادلها فيما بين الجسيمات.



جاءت تسمية كلمة ليزر LASER من الأحرف الأولى لفكرة عمل الليزر والمتمثلة في الجملة التالية: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation وتعني تضخيم الضوء Light Amplification بواسطة الانبعاث المحفز Stimulated Emission للإشعاع الكهرومغناطيسي.Radiation وقد تنبأ بوجود الليزر العالم البرت انشتاين في 1917 حيث وضع الأساس النظري لعملية الانبعاث المحفز .stimulated emission



الفيزياء النووية هي أحد أقسام علم الفيزياء الذي يهتم بدراسة نواة الذرة التي تحوي البروتونات والنيوترونات والترابط فيما بينهما, بالإضافة إلى تفسير وتصنيف خصائص النواة.يظن الكثير أن الفيزياء النووية ظهرت مع بداية الفيزياء الحديثة ولكن في الحقيقة أنها ظهرت منذ اكتشاف الذرة و لكنها بدأت تتضح أكثر مع بداية ظهور عصر الفيزياء الحديثة. أصبحت الفيزياء النووية في هذه الأيام ضرورة من ضروريات العالم المتطور.