المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24



فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت  
  
24769   02:01 صباحاً   التاريخ: 17-3-2016
المؤلف : علي جاسم التميمي
الكتاب أو المصدر : مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة : 323-335
القسم : الرياضيات / الجبر / الجبر الخطي /

الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت:

اختيار الأساس ضروري في معظم فضاءات الضرب الداخلي حيث نختار الأساس الذي جميع متجهاته متعامدة مع بعضها على العكس من فضاءات المتجهات الأخرى حيث أن معظم التمارين لا تتقيد بأساس معين. سنركز اهتمامنا في هذا البند على كيفية الحصول على الأساسات المتعامدة.

تعريف (1-1):

مجموعة متجهات فضاء الضرب الداخلي يقال لها مجموعة متعامدة إذا كانت متجهاتها متعامدة مثنى ــ مثنى، ومجموعة المتجهات المتعامدة يقال لها عارية إذا كان طول كل متجه فيها يساوي.1

مثال (1)

متجهات الاساس الطبيعية  متعامدة لأن . إضافة لذلك فهي عيارية لأن طول كل منها يساوي 1.

 

مثال(2) لتكن في R3 المعرف عليه الضرب الداخلي الاقليدي.

لاحظ أن 

وبنفس الطريقة 

إذن {v1, v2, v3} مجموعة متعامدة.

والآن نجد أطوال المتجهات v3, v2, v1:

ثم نحول كل متجه للشكل المعياري من خلال ضربة بمقلوب طوله لنحصل على :

 

ملاحظة: في فضاء الضرب الداخلي ، الأساس الذي جميع متجهاته عيارية يسمى الاساس العياري.

أما الأساس الذي جميع متجهاته متعامدة يسمى الأساس المتعامد.

مبرهنة (1-2):

لتكن {v1, v2, …., vn} T =  أساس عاري لفضاء الضرب الداخلي V، و u أي متجه في V، فإن:                                                  

البرهان:

بما أن T اساس V فإن:

                                                

حيث  Kn, … , k2,k1 ثوابت

عليه:

ملاحظة:

الكميات الثابتة  تسمى إحداثيات u نسبة للأساس العياري T وتكتب:

                                      

مثال(3):

ليكن {v1, v2, v3} T =  أساس عياري للفضاء R" المعرف عليه ضرب داخلي إقليدي. نفرض أن عبر عن u = (1,1,1) بشكل تركيب خطي للمتجهات v2, v1 و v3 ثم اوجد (U)T.

          

لذا فإن مركبات الإحداثيات للمتجه u نسبة إلى T هي:

                                                          

مبرهنة (1-3):

لتكن T اساس عياري لفضاء ضرب داخلي بعده n إذا كانت:

          

واضح أن الجانب الأيمن من (1) مبرهنة (6-3-3) يمثل طول (معيار) UT نسبة للضرب الداخلي الاقليدي للفضاء R". الجانب الايمن في (3) من نفس المبرهنة فيمثل الضرب الداخلي الاقليدي للمتجهات الإحداثية (U)T  و  (V)T. لذا عند التعامل مع الاساسات العيارية المتعامدة فإن حساب اطوال وحواصل الضرب الداخلي العامة يمكن اقتصارها على حساب أطوال وحواصل الضرب الداخلي الاقليدي للمتجهات الإحداثية.

مثال(4):

نفرض Rn فضاء معرف عليه ضرب داخلي اقليدي فإن طول المتجه u = (1,1,1)  هو:

                                                          

وإذا كان الأساس العياري T هو كما في المثال(3)، فإن:

                                                                   

وعليه فإن طول u يمكن إيجاده كذلك من هذا المتجه باستخدام الجزء الاول من مبرهنة (1-3)، أي:

                                                          

ملاحظة:

إذا كانت {v1, v2, …, vn} T = أساس متعامد لفضاء المتجهات V فإنه من الممكن تحويل كل متجه متعامد في T إلى متجه عياري متعامد من خلال قسمته على طوله. أي ان:

                                                          

هو أساس عياري متعامد.

فإذا كان u اي متجه في الفضاء V فإنه بموجب مبرهنة (1-2) نستطيع كتابة u بالصيغة:

وبموجب خواص الطول [  (الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي) ] فإن:

 

هو تركيب خطي للمتجه u بدلالة الأساس المتعامد T.

مبرهنة (1-4):

إذا كانت {v1, v2, … , vn} T =  مجموعة متجهات متعامدة وغير صفرية في فضاء الضرب الداخلي، فإن T مستقلة خطياً.

البرهان:

مثال(5):

من المثال (2). V1 = (0,1,0) ،  مجموعة عيارية نسبة للضرب الداخلي الاقليدي في R3. بما أن V1، V2 ، V3 مجموعة مستقلة خطياً وأن بعد R3 هو 3، فإن {v1, v2, v3} أساس عياري للفضاء R3.

المساقط المتعامدة:

إذا كانت w مستقيم(او مستوى) في R2 (أو R3) تمر خلال نقطة البداية (نقطة الأصل) و u متجه ما مرسوم في الفضاء R2 (أو الفضاء R3) [لاحظ الشكل (1-1) ]، فإن:

                                                               u=w1+w2                                                                                                                         

                                     

حيث W1 و W2 عمود على w1.W يسمى مسقط u على العمود W ويرمز له WL. peojwu تسمى مركبة u العمودية على W ويرمز لها u proj w1.

 

                                                            شكل (1-1)

عليه فإن:

 

[لاحظ الشكل (1-2) ]

                                                   شكل(1-2)

 

مبرهنة (1-5):

ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي في فضاء الضرب الداخلي W. فإن

(1) إذا كان {v1, v2, …, v2} أساس عياري للفضاء الجزئي u, w متجه لا على التعين في V فإن:

 

(2) إذا كان {v1, v2, …, v2} أساس متعامد للفضاء الجزئي u, w متجه لا على التعين في V، فإن:

مثال(6):

ليكن w فضاء  جزئي من R3 المعرف عليه الضرب الداخلي الاقليدي حيث w متولد من المتجهات العيارية v1 = (0,1,0)  و  

من العلاقة (5) المسقط العمودي للمتجه u = (1,1,1) على w هو:

                                       

لاحظ أن projw u عمود على كل متجه في W لأنه عمود على v1 و v2 المولدة للفضاء W.

طريقة (كرام ــ شمت) لإيجاد الأساس العياري المتعامد لفضاء الضرب الداخلي V:

يمكن تلخيص هذه الطريقة بالخطوات الآتية:

1. نفرض أن {u1, u2, …, un} أي أساس الفضاء وليكن v1 = u1.

2. نجد v2 العمود على v1 من خلال إيجاد u2 العمود على الفضاء w1 المتولد من v1 وكالآتي: [الصيغة 7 ولاحظ الشكل 1-3].

                                                

                                                           شكل (1-3)

3. نجد v3 العمود على v1 و v2 من خلال إيجاد مركب u3 العمود على الفضاء w المتولد بواسطة v1 و v2 باستخدام الصيغة (7).

                                       

لاحظ الشكل (1-4):

                                                                                      

                                                                    شكل(1-4)

 

4. والآن نجد v4 العمود على كل من v1 وv2 و v3 بإيجاد مركب u4 العمود على W3 المتولد من v3, v2, v1 مستخدماً الصيغة (7).

وكما يلي:

5. بالاستمرار على نفس الاسلوب إلى n من الخطوات سنحصل على vn حيث:

 

العلاقة الواردة في الخطوة (5) أعلاه تسمى الصيغة العامة لإيجاد الاساسات المتعامدة.

وهكذا نحصل على مجموعة المتجهات المتعامدة {v1, v2, … , vn} والتي تحتوي على n من المتجهات.

بما أن بعد V هو n وإن أي مجموعة من المتجهات المتعامدة مستقلة خطياً فإن المجموعة    {v1, v2, …, vn} هي الاساس المتعامد.

6. ثم نجد طول كل متجه في المجموعة {v1, v2, … , vn} والآتي:

                                       .

 عليه فإن {z1, z1, …, zn} هي مجموعة n من المتجهات العيارية المتعامدة وهي الاساس العياري المتعامد للفضاء V.

 

مثال(7):

أوجد الاساس العياري المتعامد للفضاء الجزئي W من R3 المتولد من u1 = (1,0,1)  و       u2 = (1,1,1).

باستخدام الطريقة أعلاه نفرض u1 = u1 = (1,0,1)

إذن:

                                      

 

                                               

عليه {(0,1,0) , (1,0,1)} هو الأساس المتعامد.

والآن نجد اطوال v2, v1 الآتي:

                   

مثال(8): اوجد الاساس المعياري المتعامد للفضاء R3 إذا علمت ان الاساس الاعتيادي هو:                 {u3 = (1,0,0)  ,   u2 = (1,1,0) ,   u1 = (1,-1,1)} بما أن u2 , u1 متعامدان نفرض أن    v2 = (1,-1,1) ,  v1 = (1,1,0) ثم نجد v3 كالآتي:

          

 

                    

والآن نجد طول كل من v3, v2, v1 وبقسمة كل منهما على طوله نحصل على الأساس العياري المتعامد

          

 

مثال(9):

نفرض v فضاء متجهات لدوال حقيقة مستمرة على .  مع الضرب الداخلي المعرف  معرفة بالشكل:

                    

هل ان T أساس عياري.

الحل:

لاحظ أن T متعامدة لأن  لكن T ليست عيارية لأن:

                                      

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.