سبق  وان تطرقنا الى التحويلات الخطية من Rⁿإلى R^m في هذا البند سنتعرف على التحويلات الخطية من الفضاء العام V إلى الفضاء العام W. ولهذا النوع من التحويلات تطبيقات مهمة في مختلف فروع الرياضيات والعلوم التطبيقية كالفيزياء والهندسة وغيرها.

تعريف (1-1):

الدالة T من فضاء المتجهات V إلى فضاء المتجهاتW ، تكتب T:V⟶W، يقال لها تحويلة خطية من v إلى w إذا تحققت الشروط الآتية:

(1) T(v+u)=T(v)+T(u)

(2) T(kv)=kT(v)

لكل u,v∊V ولكل k عدد ثابت.

عندما V = W فإن T تسمى عملية خطية على V.

مثال(1):

التحويلات الخطية التي سبق وان درسناها من Rⁿ إلى R^m هي تحويلات خطية وتحقق الشرطين . هذه التحويلات تسمى تحويلات المصفوفة.

مثال(2):

التطبيق T:V⟶W. المعرف T (v) = 0 لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى التحويلة الصفرية وذلك لأن:

مثال(3)

التطبيق I:V⟶W حيث V فضاء متجهات والمعرف بالشكل I(v) = v لكل v∊V هو تحويلة خطية تسمى العملية الخطية الأحادية وذلك لأن:

مثال(4):

ليكن V فضاء متجهات و k عدد ثابت، فإن الدالة المعرفة بالشكل

T(v) = kv لكل v∊V ، تحويلة خطية لأن

                                             شكل(1-1)

هذه التحويلة تسمى:

1. تمدد عندما K>1

2. انكماش عندما

مثال(5):

ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي من فضاء الضرب الداخلي V فإن المسقط العمودي T من V إلى W المعرف بالشكل T(v) = proj_wv لكل v∊V هو تحويلة خطية لاحظ الشكل (1-1) .

الحل:

نستطيع القول أنه إذا كان

                                                      S={w₁, w₂, …., w_k}

أساس عياري متعامد للفضاء W فإن T يمكن تعريفها بالشكل:

هذه الصيغة هي تحويلة خطية لأن:

2. بنفس الطريقة

مثال(6):

لتكن V فضاء متجهات بعدة ى و w₁, w₂, …, w_n} =S  } أساس V. خذ v∊V بحيث :  k₁, k₂, …., k_n) = (v)_s   هو متجه إحداثي للمتجه v نسبة لــ S.

لذا فإن  

فإذا عرفت T بالشكل: T:V⟶Rⁿ بحيث:

فإن T تحويلة.

الحل:

نفرض:

مثال(7):

مثال(8):

نفرضR⟶_n T:M دالة من مجموعة جميع المصفوفات ذات السعة n x n إلى مجموعة محدداتها والمعرفة:

ملاحظة:

يمكن تعميم شروط التعريف (1-1) بالشكل:

تعريف (1-2):

لتكن  تحويلات خطية فإن تركيبهما، يكتب T₂○T₁ هو دالة معرفة بالشكل:

                                                            شكل(1-2)

مبرهنة (1-3):

تركيب التحويلات الخطية هو تحويل خطي.

البرهان:

مثال(9):

ملاحظة:

يمكن تعميم تركيب التحويلات لأكثر من تحويلتان [لاحظ الشكل الهندسي (1-3) ].                                       

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي