المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية الماشية في جمهورية مصر العربية
2024-11-06
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05

حوار الشخصية
12-5-2021
الحالة الصلبة
2024-10-01
comparative (adj.)
2023-07-11
معالجة الصور الفضائية- المعالجة البصرية للصورة الفضائية- الظلال Shadows
5-9-2021
أولية خلق السماوات والأرض
9-06-2015
صناعة الزجاج
2023-02-23


المحددات-النشر بواسطة العامل المرافق، قاعدة كرام  
  
31613   01:37 صباحاً   التاريخ: 8-3-2016
المؤلف : علي جاسم التميمي
الكتاب أو المصدر : مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة : 112-124
القسم : الرياضيات / الجبر / الجبر الخطي /

النشر بواسطة العامل المرافق، قاعدة كرامر:

نتطرق في هذا البند إلى طريقة مهمة ومفيدة لحساب المحددان، ونتيجة لعملنا هنا سنحصل على صيغة لمعكوس المصفوفة القابلة للانعكاس، إضافة إلى صيغة لحل أنظمة خطية معينة بلغة المحددات.

تعريف (1-1):

مصغر العنصر aij في المصفوفة المربعة، يكتب ،Mij، هو محدد المصفوفة الجزئية الناتجة من حذف الصف رقم i أو العمود رقم j في المصفوفة A العدد (-1)i+j Mij، يكتب Cij، يعرف بأنه العامل المرافق  للعنصر aij .

ملاحظة:

نلاحظ من خلال التعريف أعلاه أن المصغر والعامل المرافق للعنصر aij يختلفان فقط بالإشارة أي أن، Cij =± Mij

وبما أن الإشارات تأتي بشكل متناوب وأن إشارات القطر الرئيسي دائماً موجبة ولسهولة حفظ هذه الإشارات ومواقعها يمكننا عمل الشكل الآتي:

 

مثال(1):

النشر بالعوامل المرافقة:

من المثال (7) في)داله المحدد) إذا كانت

 

ولما كانت المقادير المحصورة بين قوسين تمثل العوامل المرافقة C31, C21, C11 على التوالي، فإن:

تبين المعادلة اعلاه أن محدد A يمكن إيجاده بجمع نواتج ضرب عناصر العمود الاول للمصفوفة A في مرافقاتها ومن ثم جمع نواتج الضرب.

طريقة حساب محدد A هذه تسمى  النشر بالعوامل المرافقة بواسطة العمود الاول.

مثال(3):

نفرض

احسب |A| باستخدام طريقة النشر بالعوامل المرافقة بدلالة الصف الأول.

الحل: نجد العوامل المرافقة لعناصر الصف الأول في A.

 

ملاحظة:

1. يمكن إجراء النشر بالمرافق بدلالة أي صف أو أي عمود من المصفوفة A.

2. بالإمكان تعميم المعادلة (1) للمصفوفة A التي سعتها n x n.

3. أن أفضل طريقة للنشر تتم بدلالة الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار فإذا كان aij = 0 ففي هذه الحالة لا تحتاج للمقدار Cij.

مثال(3) :

احسب محدد المصفوفة A

لاحظ أن من الأفضل النشر بدلالة الصف الثالث أو العمود الثاني لأن كل منهما يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. نسب المحدد بدلالة الصف الثالث.

          

 

النتائج التي حصلنا عليها بالنسبة للمصفوفة التي سعتها 3 ×3 تمثل حالة خاصة من المبرهنة العامة الآتية والتي سنذكرها بدون برهان.

مبرهنة (1-2):

يمكن حساب محدد المصفوفة التي سعتها n x n، بجمع حاصل ضرب عناصر أي صف (عمود) بعواملها المرافقة.

أي أن لكل

هذه العلاقة تمثل نشر العوامل المرافقة بدلالة العمود j.

أما

                                                          

فتمثل النشر بدلالة الصف رقم i.

تعريف (1-3):

إذا A مصفوفة سعتها n × n و Cij العامل المرافق للعنصر aij ، فمصفوفة العوامل المرافقة هي:

المصفوفة المصاحبة  لـ A، يرمز لها (A) adj،  هي منقولة مصفوفة العوامل المرافقة. أي :

مثال (4):

 

مبرهنة (1-3):

إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس فإن:

          

البرهان:

نبرهن أولاً أن A. adj (A) = |A|. In

باستخدام قاعدة ضرب المصفوفات نحصل على:

العنصر في الصف رقم i والعمود j في حاصل ضرب A. adj (A) هو:

إذا كان I = j فإن (4) تمثل النشر بالعامل المرافق لمحدد A بدلالة الصف رقم i في المصفوفة A (مبرهنة 1-2).

أما إذا I j فإن (4) يجب أن تساوي صفر لأن العناصر a's والعوامل المرافقة تأتي من صفوف A المختلفة. عليه فإن قيمة (4) تساوي صفر.

مثال(5):

استخدم الصيغة (6) لإيجاد معكوس المصفوفة

الحل:

توجد محدد A أولاً باستخدام العلاقة (6) والمثال (3):

مثال (6):

 احسب A-1 إن وجدت مستخدما العلاقة (3).

الحل:

1. نحسب محدد A:

                                                          

بما أن محدد A يساوي 10 ، فإن A قابلة للانعكاس.

 

2. نجد المصفوفة المرافقة

3. مصفوفات المرافقات:

 

4. عليه   adj (المصفوفة المصاحبة)

 

5. نستخدم العلاقة

قاعدة كرامر:

المبرهنة التالية ستقدم صيغة أخرى من الصيغ المهمة في حل أنظمة المعادلات الخطية التي تحتوي على n من المعادلات و n من المتغيرات هذه الطريقة مهمة أيضاً من خلال دراسة خواص حلول الأنظمة الخطية دون الحاجة للدخول في تفاصيل الحل الطويلة.

مبرهنة (1-4): ليكن AX = B نظام خطي يحتوي على n من المعادلات و n من المتغيرات بحيث أن det (A) 0، فإن هناك حلاً وحيداً للنظام . هذا الحل هو:

                                      

حيث أن (j = 1,2, … , n) هو المصفوفة التي نحصل عليها باستبدال عناصر العمود رقم j في المصفوفة A بعناصر المصفوفة B حيث:

البرهان:

بما أن |A| 0 ، فإن A قابلة لانعكاس، وبموجب مبرهنة X = A-1B هو الحل الوحيد للنظام AX = B

لذا وبموجب المبرهنة (1-3) نحصل على:

بما أن Aj تختلف عن A فقط في العمود j، فإن العوامل المرافقة للعناصر b1 , b2, … bn في Aj هي نفسها العوامل المرافقة المقابلة لعناصر العمود j في A.

لذا بنشر المحدد|Aj| بعناصر العمود رقم j نحصل:

                                                

بتعويض هذه النتيجة في: ((7 نحصل على :

                                                                   

مثال(7):

باستخدام قاعدة كرامر حل النظام الخطي:

الحل:

نجد محدد المصفوفة A:

 

وباستخدام قاعدة كرامر:

مثال(8):

حل النظام الآتي:

الحل:

نجد محدد A:

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.