المستقيمان والمستويان في الفضاء الثلاثي:

يتضمن هذا البند اشتقاق معادلات المستقيمان والمستويات في الفضاء 3- باستعمال المتجهات وتوظيف تلك المعادلات لحل المسائل الهندسية الأساسية.

المستويات في الفضاء 3- :لتعيين مستقيم ما في المستوى نحتاج لمعرفة ميله ونقطة واقعة عليه، ويمكن تعيين المستوى في فضاء 3- إذا عرف انحداره ونقطة واقعة عليه. الطريقة المناسبة لتعيين الانحدار هي في تحديد متجه (يسمى المتجه الناظم) غير صفري عمودياً على المستوى.

نفرض أننا نريد إيجاد معادلة المستوى المار بالنقطة P₀ (x₀ , y₀ , z₀) وله المتجه غير الصفري n = (a, b, c) العمود عليه.

واضخ من الشكل (1-1) أن المستوى المطلوب يتكون من تلك النقاط P (x, y, z) بحيث يكون المتجه p₀p عمودياً على المتجه n. بمعنى آخر

                                      شكل(1-1)

مثال (1):

أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة    P₀ (2, 5, 1) والذي ناظمه n = (1,-2,3)

الحل:

بالتعويض في الصيغة (2):

                   1(x-2)+(-2)(y-5)+1(z-1)=1

أو

                                                                             x-2y+3z=5

مثال(2):

أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط الثلاث P₁ (1,2,-1)  و  P₂ ( 2,3,1)  و  P (3,-1,2).

الحل:

بما أن جميع النقاط تقع على المستوى فإن مركباتها تحقق المعادلة العامة.

بالتعويض في الصيغة العامة:

وبحل هذا النظام نحصل على:

إذن المعادلة هي:

                                                          9x+y-5z-16=0

طريقة ثانية لإيجاد معادلة المستوى (الصيغة الاتجاهية):

هناك صيغة ثابتة مهمة لمعادلة المستوى في فضاء 3- تتلخص فيما يلي:

ليكن r (x, y, z) متجه من نقطة الأصل للنقطة P (x, y, z)  و r₀ (x₀, y₀, ₀) متجه من نقطة الأصل للنقطة P₀ (x₀ , y₀, z₀) و n = (a, b, c) عمود على المستوى شكل (3-31) لذا:

                                                          P₀P=r-r₀

تسمى هذه الصيغة بالصيغة الاتجاهية لمعادلة المستوى

بالتعويض في الصيغة (1) نحصل على:

5) ................................................................n.(r-r₀)=0

مثال (3): أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة (4,3,4) وعمودياً على المتجه (n = (-1,2,5.

الحل:

بالتعويض في الصيغة (5) نحصل على:

                                           شكل (1-2)

المستقيمان في فضاء 3-: نوضح في هذا الجزء طريقتين لإيجاد معادلة المستقيم في المستوى.

الطريقة الأولى: ليكن m مستقيم ما يمر بالنقطة P₀ (x₀, y₀, z₀) وموازياً للمتجه v = (a, b, c)

المستقيم m يتكون من تلك النقاط p (x, y, z) التي يكون فيها المتجه P₀P موازياً للمتجه v، أي أن:

6) ...................................................... P₀P=kv

                                                       شكل(1-3)   

حيث k عدد ثابت.

أي:

وبالمقارنة بين المركبات:

هذه المعادلات تسمى المعادلات الوسيطة.

مثال(4):

اوجد المعادلات الوسيطة للمستقيم m المار بالنقطتين P (1, 2,3) و Q (3,2,1).

الحل:

بما أن المتجه PQ (2,0,-2) يوازي المستقيم m والنقطة P (1,2,3) تقع على m فإن

مثال (5):

أوجد المعادلات الوسيطة لخط تقاطع المستويين:

الحل:

خط تقاطع المستويين يتكون من جميع النقاط (x, y, z) التي تحقق المعادلتين وبحل المعادلتين نجد:

الطريقة الثانية: ليكن r (x, y, z) متجه ما منة نقطة الأصل للنقطة P (x, y, z) و                    r₀ (x₀, y₀, z₀) متجه من نقطة الأصل للنقطة P₀ (x₀, y₀, z₀)  و  v = (a, b, c) متجه موازي للمستقيم m، كما في الشكل (3-33).

لذا:

                                                          P₀P =r-r₀

وبالتعويض في الصيغة P₀P = kv نحصل على:

                                                r-r₀=kv

حيث k عدد ثابت.

أو

هذه الصيغة تسمى بالصيغة الاتجاهية لمعادلة المستقيم في المستوى 3-

المسافة من نقطة معلومة لمستوى معلوم:

لتكن P (x₀, y₀, z₀) نقطة معلومة ax + by + cz + d = 0 المستوى المعلوم فإن المسافة D بين النقطة والمستوى.

البرهان:

نفرض Q (x₁, y₁,z₁ نقطة واقعة في المستوى. نرسم المتجه n = (a, b, c) عمودياً على المستوى في النقطة Q (الشكل 1-4). المسافة D تساوي طول المسقط العمودي للمتجه QP₀ على n. بوساطة الصيغة (9) في (الضرب النقطي ,المساقط):

                                                          شكل(1-4)

لكن Q (x₁, y₁, z₁) واقعة في المستوى، فإن إحداثيات تحقق معادلة المستوى     

وبتعويض هذه الصيغة هذه في (10) نحصل على  (9).

ملاحظة:

لاحظ التشابه بين (9) وصيغة المسافة بين نقطة معلومة ومستقيم معلوم (صيغة 12في(الضرب النقطي ,المساقط(.

مثال(7):

أوجد المسافة من النقطة P (1,-4,3) للمستوى 2x + 3y + 6z = 0

الحل:

هنا n = (2,-3,6) (الناظم) العمود على المستوى

مثال (8): أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين:

الحل:

المستويان متوازيين لأن أعمدتهما (الناظمين) n₁ = (1,2,-2)  و  n₂ = (2,4,-4) متجهات متوازيين (شكل 1-5).

لإيجاد المسافة بين المستويين نختار نقطة معينة في إحداهما ونوجد المسافة بين النقطة والمستوى الآخر، بفرض y = z = 0 في المعادلة x + 2y – 2z = 3 نحصل على P₀ (3,0,0) في هذا المستوى. وبوساطة الصيغة (9) فإن المسافة D من  P₀ إلى المستوى 2x + 4y – 4z = 7

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجلة تسليم تدعو الباحثين والأكاديميين للمشاركة في أعدادها القادمة

المجمع العلمي يواصل إقامة محاضراته الأسبوعية في مقام الإمام المهدي (عجل الله فرجه)

جامعة الكفيل تطلق الدورة التدريبية الصيفية لطلبة كلية الهندسة التقنية

استعدادًا لزيارة الأربعين العتبة العباسية المقدسة تعقد الورشة التنسيقية الرابعة الخاصة بمراكز إرشاد التائهين

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة علمية تكشف مفاجأة حول الأسباب الحقيقية للسمنة

دراسة: الأطباء يتجاهلون "سببا شائعا" لارتفاع ضغط الدم

نظامك الغذائي غني بالبروتين؟.. احذر هذه الآثار الجانبية

لا تتجاهلها.. أعراض تنذرك بأنك مهدد بالإصابة بالسكري

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ISOFIX: معيار الأمان الذهبي لمقاعد الأطفال في السيارات

هل المحرك الأكبر دائمًا الأفضل للسيارة؟

اختبارات ناجحة لمحرك "VK-800" الروسي وتطويره لطائرة بايكال الخفيفة

رئيس إنفيديا: الذكاء الاصطناعي الصيني "محفز للتقدم العالمي"

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي