الضرب النقطي ؛المساقط:

يتضمن هذا البند مناقشة طريقة ضرب المتجهات في الفضاء 2- والفضاء 3- مع إعطاء بعض الأمثلة لهذا الضرب هندسياً.

تعريف (1-1):

إذا كانت u , v متجهات مرسومة في الفضاء 2- أو الفضاء 3- بحيث تكون نقاط بدايتهما متطابقة و ⍉ هي الزاوية المحصورة بينهما، فإن الضرب النقطي (أو الضرب الداخلي الإقليدي)، يكتب v.u ويعرف كما يلي:

وإذا كانت v = 0 او u=0 فأن    v.u=0

مثال(1):

نفرض v = (0,2,2) و u = (0,0,1) و ⍉=60

[شكل (1-1)] فإن:

                                                شكل (1-1)

لتكن v = (v₁ , v₂ , v₃) و  u = (u₁ , u₂ , u₃)متجهات غير صفرية و ⍉الزاوية بينهما كما موضح في الشكل (1-2) فإن:

من قانون جيوب التمام نحصل على:

                                                                 شكل (1-2)

وبالتعويض عن :

مثال(2):

لتكن u , v متجهات كما في مثال (1). أوجد الزاوية المحصورة بينهما.

الحل:

مبرهنة (1-2):

لتكن u , v متجهات مرسومة في فضاء 2- أو فضاء 3- فإن:

2. لتكن u , v متجهات غير صفرية و ⍉ زاوية محصورة بينهما فإ:

a. ⍉ زاوية حادة إذا وفقط إذا v.u>0

b. ⍉ زاوية منفرجة إذا وفقط إذا v.u<0

c. ⍉ زاوية قائمة (⍉=π/2).إذا وفقط إذا v. u = 0

البرهان:

(1) بما أن الزاوية بين v , v هي صفر فإن:

                                                          شكل (1-3)

مثال(3):

نفرض v = (2, -3, 4) ، u = (-4 , 3, 1) ، w = (2 , 4, 2) فإن:

لهذا فإن الزاوية بين u , v منفرجة ، الزاوية بين v و w قائمة. والزاوية بين w , u حادة.

المتجهين u , v يقال لهما بأنهما متعامدين إذا وفقط إذا v . u = 0 يرمز لتعامد u , v بالرمز .u ⟘v

مثال(4):

المتجه غير الصفري n = (a , b) المرسوم في فضاء 2-  يكون عمودياً على المستقيم         ax + by + c = 0.

الحل:

نفرض P₁(x₁ , y₁) ، P₂ ( x₂ , y₂)

نقاط واقعة على المستقيم [ الشكل (1-4)].

                                      الشكل (1-4)

إذن:

إذن n والمتجه p₁p₂ متعامدين.

مبرهنة (1-3):

لتطن w , u , v متجهات مرسومة في فضاء 2- أو فضاء 3- و k كمية ثابتة، فإن الخواص الآتية تكون صحيحة:

1. v.u = u.v .

2.v . (u + w) = v.u + v.w

3 K (v.u) = (kv) . u = v. (ku).

4. v.v>0 إذا كان v ≠ 0 و v = 0.v  إذا v = 0

البرهان:

نبرهن (1)

نفرض  v = (v₁ , v₂, v₃) و u = (u₁, u₂, u₃)

مثال(5):

لتكن v = (2,0,-3) و u = (6,1,4) فإن:

إذنv.u  = 0

عليه فإن v⟘u

المساقط المتعامدة: في بعض التطبيقات نحتاج إلى تحليل المتجه v إلى مركبتين، أحدهما توزي متجه ما مثل a والأخرى عمودية عليه. فإذا فرضنا أن بداية المتجه v تنطبق على بداية المتجه a كما في المثال (5) يمكننا تحليل v بإسقاط عمود من نهايته على المتجه a أو امتداد فنحص على المركبة الأول u₁ والمركبة الثانية ستكون.

u₂=v-u₁                                                                                                                                                                      

U₁ يسمى المسقط العمودي للمتجه v على

A ويرمز له بالرمز Proj_aV، وتسمى

U₂ مركبة المتجه v العمودية على

A وتكتب:                                                      

U₂ = v - proj_aV

                               شكل ((1-5

ملاحظة:

من الشكل (1-5)، المتجه u₁ موازياً إلى a و u₂ عمودياً على a وأن

مبرهنة (1-4):

لتكن v و a متجهات مرسومة في فضاء 2- وفضاء 3- وأن a ≠ 0، فإن مركبة المتجه v على امتداد a هي : proj_aV

ومركبة المتجه v العمودية على a هي :

البرهان:

نفرض أن u₁ = proj_aV  ،  u₂ = v - proj_a^v

ويأخذ الضرب النقطي لكلا الطرفين مع المتجه a باستخدام كل من المبرهنتين (1-2) و (1-3) نحصل على:

مثال(6):

لتكن (-3,2) a = و u = (2,1). اوجد مركبة u على امتداد a ومركبته العمودية على a.

ولكي نتحقق من أن u = proj_au عمود على. a

                                                           شكل (1-6)

الزاوية بين مركبة v باتجاه v و a:

المساقط بين نقطة معلومة ومستقيم معلوم:

نفرض P (x₀ , y₀) نقطة معلومة والمستقيم المعلوم ax + by + c = 0 ولتكن Q (x₁, x₂) نقطة على المستقيم. نرسم المتجه (الناظم) n = (a , b) بحيث تكون Q بدايته.

                                                شكل (1-7)

عليه فإن n عمود على المستقيم ، من الشكل (1-7) نلاحظ أن:

وبما أن النقطة Q تقع على المستقيم فإن مركباتها تحقق معادلة المستقيم.

لذا فإن:                                                           ax₁ + by₁ + c = 0

أي:                                                                         c = -ax₁ - by

وبالتعويض في العلاقة (11) نحصل على:

مثال(7):

          أوجد المسافة من النقطة (-3 , 1) إلى المستقيم 4x + 3y + 4 = 0

الحل:

بالتعويض في العلاقة (12):

مثال(8): اوجد المسافة بين المستوى 2x – y + 3z = 6 والنقطة Q (3, 5, 7)

الحل:

نعين نقطة على المستوى ولتكن P (3,0,0) (لأنها تحقق المعادلة أعلاه).

الناظم n = (2, -1 , 3)

لهذا PQ = (0 , 5, -7)

 و |PQ. n| = 26 (تحقق من ذلك)