تحديدات كميات المستخدمات

قد تواجه المؤسسة تحديدات تنطبق بالكميات المتوفرة لمستخدم واحد أو أكثر من المستخدمات اللازمة في عمليات الانتاج بدلاً من التحديدات الخاصة و بمقدار الانفاق الكلي للمؤسسة. لذلك ستختلف في هذه الحالة مشكلة ايجاد الحل الافضل لتحقيق اقصى انتاج ممكن. ومن الامثلة المألوفة لتحديدات المستخدمات عدد المكائن المتوفرة في وقت معين ، مساحة الارض المحدودة لمصنع معين، عدد العمال الماهرين المتوفرين في صناعة معينة ... وهكذا. ويمكن توضيح هذه الحالة والحالات الاخرى بالشكل رقم (4) التالي : 

لنفرض اولاً انه لا يتوفر للمؤسسة أكثر من م بَ من وحدات المستخدم (ب) بينما تكون وحدات المستخدم (أ) غير محدودة. لذلك تكون منطقة الحلول الممكنة ضمن المثلث  (م ن ل ) ، أي المنطقة المحصورة بين طريقتي الانتاج (م د) و (م ز) او المنطقة الواقعة على او اسفل الخط الافقي الممتد الى يمين النقطة (بَ). ويتضح من الشكل ان احد منحنيات الانتاج المتساوية (وهو س₂ )سينطبق على هذا الخط الافقي ، ويمثل هذا المنحنى اعلى مستوى للإنتاج يتوفر للمؤسسة، في حالة تحديد الوحدات المتوفرة من المستخدم (ب) بالكمية (م بَ). وستستعمل الطريقة (م ز) وذلك بإنتاج المستوى ن (م ل). ومن جهة اخرى ، اذا افترضنا ان كمية وحدات المستخدم (أ) تتحد بالمستوى (م أ) ، بينما وحدات المستخدم (ب) هي غير محدودة فستكون منطقة الحلول الممكنة في هذه الحالة محصورة بين طريقتي (م د) و (م (ز) او واقعة على او الى يسار الخط العمودي الممتد من المنطقة (أ) ويتم تحقيق اقصى حد من الانتاج باستعمال طريقة (د) عند المستوى (م ك) ، اي اختيار منحنى الانتاج (س₂ ) . لذلك ، يتطلب تحقيق اقصى انتاج ممكن في كلتا الحالتين استعمال طريقة واحدة ، كما لا يعتبر معدل أثمان المستخدمات هو العامل المحدد لاستعمال طريقة معينة.

لننتقل الآن الى حالة اخرى والتي تكون فيها كميات كل من المستخدمين محدودة. لنفترض ان وحدات المستخدم (أ) تتحدد بالكمية (م أ) بينما تتحدد وحدات المستخدم (ب) بالكمية (م بَ) كما يتضح من الشكل السابق. لذلك ستقع منطقة الحلول الممكنة في أية نقطة على او ضمن الشكل الرباعي (م ن ق ط). وتكون النقطة (ق) الواقعة على منحنى الانتاج (س₁) هي التي تحقق اقصى حد ممكن للانتاج. ففي هذه الحالة يمكن استعمال كل من الطريقتين (و) و (ز) . فيمكن مثلاً انتاج الكمية (م ش) في حالة استعمال طريقة (و) والكمية ش ق ( = ط ع ) في حالة استعمال طريقة (ز) . أما إذا كانت الوحدات المتوفرة من المستخدم (أ) هي اقل من (م أ) وان وحدات المستخدم (ب) هي (م بَ) فان افضل نقطة لتحقيق أقصى حد ممكن للانتاج هي نقطة (ج) الواقعة على منحنى الانتاج المتساوي (س₁) ، أي ضرورة استعمال طريقة (و) فقط .  

توضح الحالات السابقة مبدأً رئيساً في طرق البرمجة الخطية. حيث لا يتطلب من المؤسسة استعمال عدد من طرق الانتاج يزيد عن عدد التحديدات التي تواجهها المؤسسة في تحقيق هدف معين. ففي حالة وجود تحديد واحد كالنفقات الكلية، يتطلب على المؤسسة استعمال طريقة واحدة من طرق الانتاج. كذلك الحال اذا كان التحديد يقتصر على الكمية المتوفرة لمستخدم واحد. اما إذا كان التحديد يشمل على مستخدمين، فلا يتطلب على المؤسسة استعمال اكثر من طريقتين. اما اذا كان عدد التحديدات اكثر فيتطلب الامر زيادة عدد الطرق المستعملة ، وهكذا ، ولكن بشرط الا يزيد عدد هذه الطرق على عدد المستخدمات.

(2) تعدد المنتجات والمستخدمات

يمكن توضيح الحالة بالمثل التالي : لنفرض ان هناك ثلاثة مستخدمات (او عوامل انتاج (أ) ، (ب)، (ج) تستخدم لانتاج سلعتين : (س) و(ص). لنفرض ايضاً ان انتاج وحدة واحدة من سلعة (س) يتطلب استخدام وحدة من المستخدم (أ) ، وحدة من المستخدم (ب) ، واربع وحدات من المستخدم (ج). في حين يتطلب انتاج وحدة واحدة من سلعة (ص) استخدام وحدتين من (أ) ، وحدة من (ب) ، وحدة من (ج)، كما يتضح من جدول المستخدم - المنتج رقم (1) التالي :

لنفرض أيضاً بأن ربح الوحدة الواحدة من سلعة (س) هو (15) ديناراً وربح الوحدة الواحدة من سلعة (ص) هو (20) دينار. ولنفرض بأن المؤسسة تواجه اثمان معينة للمستخدمات المتغيرة بحيث تبلغ متوسط التكاليف المتغيرة لإنتاج وحدة واحدة من سلعة(س) مبلغاً قدره (15) ديناراً، ومتوسط التكاليف المتغيرة لإنتاج الوحدة من سلعة (ص) هي (10) ديناراً.⁽¹⁾

ويمكن ان تعبر عن مجموع الربح، او دالة الربح بالشكل التالي:

ح = 15 س +20 ص

وتسمى هذه بالدالة الهدفية (Objective Function) ولنفرض أخيراً بعض  التحديدات فيما يتعلق بالمستخدمات. فمثلاً انه لا يتوفر للمؤسسة اكثر من (14) وحدة من المستخدم (أ)، (8) وحدات من المستخدم (ب)، و (24) وحدة من المستخدم (ج).

ويمكن التعبير عن هذه التحديدات، التي يجب على المؤسسة التقيد بها، بالشكل التالي:

يتضح اذن أن المشكلة هنا هي تحقيق اقصى ربح ممكن من الأخذ بنظر الاعتبار للتحديدات السابقة. أي بعبارة اخرى ، يمكن التعبير عن مشكلة البرمجة الخطية بالشكل التالي:

ح = 15س + 20 ص

على افتراض :

 ويتضح من التحديدين الآخرين بان الفعاليات الانتاجية تستخدم فقط عند المستويات الايجابية او غير السالبة ، وهذه طبعاً من الشروط الاساسية للبرمجة الخطية.

فمثلاً لا يمكن شحن عدداً سالباً من اكياس السمنت. 

ولنبدأ الآن بالحل الهندسي للمشكلة حسب الشكل رقم (5) التالي : 

يتضح من الشكل أعلاه الخطة (أ أ) الذي يمثل المتساوية س + 2ص= 14 ، وتترك للقارئ توضيح ان المنطقة الواقعة الى يسار (او أسفل) الخط (أ أ) تمثل اللا متساوية س + 2 ص - 14 . وتمثل هذه المنطقة زائداً الخط (أ أ) اللا متساوية س + 2 ص - 14 . لذلك ، فاذا كان (أ) هو المستخدم الوحيد ، فتكون المنطقة الواقعة إلى يسار الخط (أ أ) المنطقة الممكنة للانتاج. أما محاولة انتاج مجموعات من (س) و (ص) التي تمثلها النقاط في المنطقة الواقعة الى يمين الخط (أ أ) فسيتعذر تحقيقها لان انتاج هذه المجموعات يتطلب وحدات أكثر مما هو متوفر من المستخدم (أ). فاذا أضفنا المستخدم (ب) ، فستصبح المنطقة الممكنة للانتاج هي ا المنطقة الواقعة الى يسار  (ل ك هـ). واخيراً إذا أضفنا المستخدم (ج) فستصبح المنطقة الممكنة للانتاج هي المنطقة الواقعة الى يسار (ط  ك ن هـ) وبما أن البرمجة الخطية تهتم فقط بمستويات الانتاج الايجابية ، لذلك فان المنطقة الممكنة للانتاج ، حسب تحديدات المستخدمات . المنطقة (المظللة) المحصورة بين  (ط  ك ن هـ). ويتضح من الشكل بأن مستوى الانتاج الذي يحقق أقصى الارباح الممكنة يجب أن يقع على حدود المنطقة المظللة. أي بعبارة اخرى ان أية نقطة على هذه الحدود تحقق ارباحا أكبر من أية نقطة داخل هذه المنطقة كالنقطة (ي) مثلاً. وذلك لانه كلما ابتعدنا عن النقطة (ي) باتجاه اليمين او الى أعلى هذه النقطة ، فسيمكننا انتاج وحدات اكثر من السلعة (س) او (ص) او كليهما.والجدير بالملاحظة هنا ان الافتراضات الاساسية للبرمجة الخطية، والتي سبق الاشارة اليها وهي ثبات عائدات المدى (Constant Returns to Scale) والمنافسة الكاملة تمنع حدوث سواء تناقص او تزايد عائدات المدى (أو الغلة) ،  إنخفاض أثمان الانتاج ، او ارتفاع اثمان المستخدمات المتغيرة. لذلك فان اي ابتعاد الى يمين او الى النقطة (ي) باتجاه الحدود (م ط ك ن هـ) سيؤدي الى زيادة الارباح.

يتضح إذن ان مشكلة البرمجة الخطية هي تحديد افضل نقطة على حدود المنطقة الممكنة للانتاج. فمن المحتمل ان تكون هذه النقطة ل ، ك ، ن ، او هـ . وابسط طريقة للتوصل الى النقطة التي تحقق اقصى الارباح الممكنة هي التي تعرف بالطريقة التكرارية (Iterative Process) اي الاتجاه نحو نقطة الهدف بخطوات غير عشوائية ، اي بعبارة اخرى ان القاعدة في اتخاذ الخطوة التالية يجب ان تضمن زيادة الارباح. لذلك يمكن بهذه الطريقة اكتشاف النقطة التي تحقق أقصى الارباح بعدد محدود من الخطوات.

لننتقل الآن الى تفسير الحل الهندسي لهذه المشكلة. فسبق ان بينا ان دالة الربح للمؤسسة هي :

ح = 15س + 20 ص

ويمكن للمرء ان يتصور عدداً غير محدود من خطوط الربح المتساوية والتي تتناسب مع دالة الربح. ويتضح من الشكل رقم (6) التالي ثلاثة خطوط فقط وهي: ح₁ = 80 ديناراً، ح₂ = 150 ديناراً ، وح₃ = 300 ديناراً

لنفرض الآن المبدأ من الخط (ح₁) باتجاه الخطوط الاعلى، الى ان نتوصل الى اعلى خط ممكن للربح والذي يشمل على نقطة واحدة على الاقل ، وهذا الخط هو (ح₂) ، والنقطة الممكنة هي النقطة (ن) التي تضمن اقصى حد ممكن من الارباح.  

ويمكن ان تتصور حالة يزداد فيها ربح السلعة (س).

وسيؤدي هذا الى تحرك خطوط الربح المتساوية بعكس اتجاه عقرب الساعة. فاذا كان كبيراً جداً، فستكون النقطة (ك) هي نقطة المماس مع الخط (ح₁). والتي تؤدي الى انخفاض انتاج السلعة (ص) وزيادة انتاج السلعة (س). وبالتالي زيادة الطلب على المستخدم (ج) وهبوط الطلب على المستخدم (ج) وهبوط الطلب على المستخدم (أ).

واذا افترضنا ان المؤسسة تنتج عند النقطة (ن) وحدتين من السلعة (س) و (6) وحدات من السلعة (ص) ، فسيكون الحد الاقصى من الربح (150) ديناراً :

150 = 2×15 + 6×20   

والجدير بالملاحظة ان الوحدات المتوفرة من المستخدم (ج) لم تستعمل كلها في عملية الانتاج ، حيث لم تستعمل سوى (14) وحدة من هذا المستخدم. لذلك يعتبر  المستخدم (ج) من وجهة نظر المؤسسة بمثابة سلمة حرة. اي ان المؤسسة سوف لا تدفع اية نقود مقابل الوحدات الاضافية من المستخدم (ج) وذلك لان مثل هذا الشراء معناه زيادة عدد الوحدات العاطلة (او غير المستغلة) من المستخدم (ج).

 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

(1) ان مفهوم الربح الحالي لا يأخذ ينظر الاعتبار التكاليف الثابتة.