The pentaflake is a fractal with 5-fold symmetry. As illustrated above, five pentagons can be arranged around an identical pentagon to form the first iteration of the pentaflake. This cluster of six pentagons has the shape of a pentagon with five triangular wedges removed. This construction was first noticed by Albrecht Dürer (Dixon 1991).

For a pentagon of side length 1, the first ring of pentagons has centers at radius

(1)

where  is the golden ratio. The inradius  and circumradius  are related by

(2)

and these are related to the side length  by

(3)

The height  is

(4)

giving a radius of the second ring as

(5)

Continuing, the th pentagon ring is located at

(6)

Now, the length of the side of the first pentagon compound is given by

(7)

so the ratio of side lengths of the original pentagon to that of the compound is

(8)

We can now calculate the dimension of the pentaflake fractal. Let  be the number of black pentagons and  the length of side of a pentagon after the  iteration,

			(9)
			(10)

The capacity dimension is therefore

			(11)
			(12)
			(13)

(OEIS A113212).

An attractive variation obtained by recursive construction of pentagons is illustrated above (Aigner et al. 1991; Zeitler 2002; Trott 2004, pp. 21-22).

REFERENCES:

Aigner, M.; Pein, J.; and Stechmüller, T. T. Math. Semesterber. 38, 242, 1991.

Ding, R.; Schattschneider, D.; and Zamfirescu, T. "Tiling the Pentagon." Discr. Math. 221, 113-124, 2000.

Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 186-188, 1991.

Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 76 and 109, 2002.

Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, pp. 64-65, 2002.

Lück, R. Mat. Sci. Eng. A 263, 194-296, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequence A113212 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. Graphica 1: The World of Mathematica Graphics. The Imaginary Made Real: The Images of Michael Trott. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60 and 88, 1999.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 40-42, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 104, 1991.

Zeitler, H. Math. Semesterber. 49, 185, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

جمعية كشافة الكفيل: المجالس الحسينية تعلّم الفتية قيم نهضة الإمام الحسين (عليه السلام)

عَبرَ المجالس الحسينية.. المجمَع العلمي يقدّم محاضرات دينية وتلاوات قرآنية في بغداد والنجف وميسان

برعاية العتبة العباسية المقدسة.. موكب قناديل السماء يُحيي مراسم اليوم الثالث عشر من المحرّم

بعد انتهاء مراسم ذكرى دفن الأجساد الطاهرة قسم رعاية الصحن يباشر بحملة تنظيف واسعة لصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لكبح الجوع وخسارة الوزن.. "سر بسيط" في نظام جوكوفيتش ؟

هل يساعد الرجيم في علاج الأمراض العقلية؟

لحماية أسنان طفلك.. هذا الفيتامين يقلل خطر التسوس

أكل الطعام بسرعة.. طريق سريع إلى أمراض خطيرة

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ما هي أفضل درجة حرارة لتكييف الهواء في السيارة؟

ذوبان الأنهار الجليدية يوقظ "عمالقة نائمة"!

9 يوليو يشهد أقصر يوم في التاريخ المسجل ؟!!

راتبه عشرات ملايين الدولارات.. زوكربرغ يخطف "عقل أبل"

المزيد