المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05


Pentaflake  
  
1419   02:37 صباحاً   date: 24-9-2021
Author : Aigner, M.; Pein, J.; and Stechmüller, T. T
Book or Source : Math. Semesterber. 38
Page and Part : ...


Read More
Date: 11-9-2021 829
Date: 24-9-2021 928
Date: 21-11-2021 1166

Pentaflake

 Pentaflake

The pentaflake is a fractal with 5-fold symmetry. As illustrated above, five pentagons can be arranged around an identical pentagon to form the first iteration of the pentaflake. This cluster of six pentagons has the shape of a pentagon with five triangular wedges removed. This construction was first noticed by Albrecht Dürer (Dixon 1991).

PentaflakeDistances

For a pentagon of side length 1, the first ring of pentagons has centers at radius

 d_1=2r=1/2(1+sqrt(5))R=phiR,

(1)

where phi is the golden ratio. The inradius r and circumradius R are related by

 r=Rcos(1/5pi)=1/4(sqrt(5)+1)R,

(2)

and these are related to the side length s by

 s=2sqrt(R^2-r^2)=1/2Rsqrt(10-2sqrt(5)).

(3)

The height h is

 h=ssin(2/5pi)=1/4ssqrt(10+2sqrt(5))=1/2sqrt(5)R,

(4)

giving a radius of the second ring as

 d_2=2(R+h)=(2+sqrt(5))R=phi^3R.

(5)

Continuing, the nth pentagon ring is located at

 d_n=phi^(2n-1).

(6)

Now, the length of the side of the first pentagon compound is given by

 s_2=2sqrt((2r+R)^2-(h+R)^2)=Rsqrt(5+2sqrt(5)),

(7)

so the ratio of side lengths of the original pentagon to that of the compound is

 (s_2)/s=(Rsqrt(5+2sqrt(5)))/(1/2Rsqrt(10-2sqrt(5)))=1+phi.

(8)

We can now calculate the dimension of the pentaflake fractal. Let N_n be the number of black pentagons and L_n the length of side of a pentagon after the n iteration,

N_n = 6^n

(9)

L_n = (1+phi)^(-n).

(10)

The capacity dimension is therefore

d_(cap) = -lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)

(11)

= (ln6)/(ln(1+phi))

(12)

= 1.861715...

(13)

(OEIS A113212).

PentaflakeRecursiveGrowth

An attractive variation obtained by recursive construction of pentagons is illustrated above (Aigner et al. 1991; Zeitler 2002; Trott 2004, pp. 21-22).


REFERENCES:

Aigner, M.; Pein, J.; and Stechmüller, T. T. Math. Semesterber. 38, 242, 1991.

Ding, R.; Schattschneider, D.; and Zamfirescu, T. "Tiling the Pentagon." Discr. Math. 221, 113-124, 2000.

Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 186-188, 1991.

Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 76 and 109, 2002.

Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, pp. 64-65, 2002.

Lück, R. Mat. Sci. Eng. A 263, 194-296, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequence A113212 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. Graphica 1: The World of Mathematica Graphics. The Imaginary Made Real: The Images of Michael Trott. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60 and 88, 1999.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 40-42, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 104, 1991.

Zeitler, H. Math. Semesterber. 49, 185, 2002.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.