The pentaflake is a fractal with 5-fold symmetry. As illustrated above, five pentagons can be arranged around an identical pentagon to form the first iteration of the pentaflake. This cluster of six pentagons has the shape of a pentagon with five triangular wedges removed. This construction was first noticed by Albrecht Dürer (Dixon 1991).

For a pentagon of side length 1, the first ring of pentagons has centers at radius

(1)

where  is the golden ratio. The inradius  and circumradius  are related by

(2)

and these are related to the side length  by

(3)

The height  is

(4)

giving a radius of the second ring as

(5)

Continuing, the th pentagon ring is located at

(6)

Now, the length of the side of the first pentagon compound is given by

(7)

so the ratio of side lengths of the original pentagon to that of the compound is

(8)

We can now calculate the dimension of the pentaflake fractal. Let  be the number of black pentagons and  the length of side of a pentagon after the  iteration,

			(9)
			(10)

The capacity dimension is therefore

			(11)
			(12)
			(13)

(OEIS A113212).

An attractive variation obtained by recursive construction of pentagons is illustrated above (Aigner et al. 1991; Zeitler 2002; Trott 2004, pp. 21-22).

REFERENCES:

Aigner, M.; Pein, J.; and Stechmüller, T. T. Math. Semesterber. 38, 242, 1991.

Ding, R.; Schattschneider, D.; and Zamfirescu, T. "Tiling the Pentagon." Discr. Math. 221, 113-124, 2000.

Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 186-188, 1991.

Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 76 and 109, 2002.

Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, pp. 64-65, 2002.

Lück, R. Mat. Sci. Eng. A 263, 194-296, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequence A113212 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. Graphica 1: The World of Mathematica Graphics. The Imaginary Made Real: The Images of Michael Trott. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60 and 88, 1999.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 40-42, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 104, 1991.

Zeitler, H. Math. Semesterber. 49, 185, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مؤتمر السيد المجاهد يشهد عرض فيلم وثائقي عن سيرته العلمية ومشروع إحياء تراثه

بحث حوزوي يتناول التمييز بين المعجزة والسحر عند السيد المجاهد

بحث يناقش أثر القواعد العقلية في استنباط الأحكام الشرعية عند السيد محمد المجاهد

بحث علمي يناقش ردود السيد المجاهد على اللغويين والنحويين في كتابه (مفاتيح الأصول)

المزيد

الآخبار الصحية

هل توقيت نشاطك اليومي يؤثر على صحة دماغك؟.. العلماء يجيبون

"مشروب محبوب" يخفي فوائد لا يعرفها كثيرون

طبيب يكشف 5 أنواع للسعال.. بعضها خطير

نقص فيتامينات "خفي".. قد يفسّر التعب والتنميل وقلة التركيز

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة: تغيّرات في أسلوب القيادة قد تكشف مبكرا عن الخرف !

عمرها 773 ألف سنة.. اكتشاف أقدم أحافير بشرية في المغرب

"اختراق علمي".. اختبار دم في منزلك قد يكشف ألزهايمر

ماذا يحدث للجسم عند قطع الكافيين فجأة؟

المزيد