المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية ماشية اللبن في البلاد الأفريقية
2024-11-06
تربية الماشية في جمهورية مصر العربية
2024-11-06
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06

رفع المصاحف
13-6-2019
وحدات قياس الكتلة
19-9-2019
Momentum Conservation
26-11-2020
المحددات البيئية للتلوث البصري- القانونية
4/9/2022
العدل واعطاء الناس حقوقهم
29-1-2022
Dixon,s Factorization Method
12-9-2020

Gram Point  
  
1388   03:01 مساءً   date: 8-9-2019
Author : Edwards, H. M.
Book or Source : Riemann,s Zeta Function. New York: Dover, 2001.
Page and Part : ...


Read More
Date: 9-10-2019 1442
Date: 25-8-2018 2528
Date: 22-8-2019 2573

Gram Point

GramPoints

Let theta(t) be the Riemann-Siegel function. The unique value g_n such that

 theta(g_n)=pin

(1)

where n=0, 1, ... is then known as a Gram point (Edwards 2001, pp. 125-126).

An excellent approximation for Gram point g_n can be obtained by using the first few terms in the asymptotic expansion for theta(t) and inverting to obtain

 g_n approx 2piexp[1+W((8n+1)/(8e))],

(2)

where W(z) is the Lambert W-function. This approximation gives as error of 2.2×10^(-3) for n=0, decreasing to 3.5×10^(-4) by n=10.

The following table gives the first few Gram points.

n OEIS g_n
0 A114857 17.8455995404
1 A114858 23.1702827012
2   27.6701822178
3   31.7179799547
4   35.4671842971
5   38.9992099640
6   42.3635503920
7   45.5930289815
8   48.7107766217
9   51.7338428133
10   54.6752374468

The integers closest to these points are 18, 23, 28, 32, 35, 39, 42, 46, 49, 52, 55, 58, ... (OEIS A002505).

There is a unique point at which g_n=n, given by the solution to the equation

 theta(n^*)=pin^*

(3)

and having numerical value

 n^*=9146.69819317...

(4)

(OEIS A114893).

It is usually the case that R[zeta(1/2+ig_n)]=(-1)^nZ(g_n)>0. Values of n for which this does not hold are n=126, 134, 195, 211, 232, 254, 288, ... (OEIS A114856), the first two of which were found by Hutchinson (1925).


REFERENCES:

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.

Haselgrove, C. B. and Miller, J. C. P. "Tables of the Riemann Zeta Function." Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 58, 1960.

Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.

Sloane, N. J. A. Sequences A002505/M5052, A114856, A114857, A114858, and A114893 Sloane, N. J. A. Sequences




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.