المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
{ان أولى الناس بإبراهيم للذين اتبعوه}
2024-10-31
{ما كان إبراهيم يهوديا ولا نصرانيا}
2024-10-31
أكان إبراهيم يهوديا او نصرانيا
2024-10-31
{ قل يا اهل الكتاب تعالوا الى كلمة سواء بيننا وبينكم الا نعبد الا الله}
2024-10-31
المباهلة
2024-10-31
التضاريس في الوطن العربي
2024-10-31

specialization (n.)
2023-11-18
تحدث البيلة السكرية عند تجاوز العتبة الكلوية للجلوكوز
9-8-2021
العلاقة الحميمة مع الأطفال
20-4-2016
حصار بغداد و استلاء طاهر عليها و مقتل الأمين
26-8-2017
The fricatives
2024-04-22
أبو عمرو الكشي
26-8-2016

Hyperbolic Tangent  
  
1485   11:51 صباحاً   date: 3-6-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A
Book or Source : "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,
Page and Part : ...


Read More
Date: 10-8-2019 1474
Date: 30-7-2019 1000
Date: 24-3-2019 1269

Hyperbolic Tangent

 

 

TanhReal
 
 
             
  Min Max      
TanhReImAbs
 
 
  Min   Max    
  Re    
  Im      

By way of analogy with the usual tangent

 tanz=(sinz)/(cosz),

(1)

the hyperbolic tangent is defined as

tanhz = (sinhz)/(coshz)

(2)

= (e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))

(3)

= (e^(2z)-1)/(e^(2z)+1),

(4)

where sinhz is the hyperbolic sine and coshz is the hyperbolic cosine. The notation thz is sometimes also used (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxix).

tanhz is implemented in the Wolfram Language as Tanh[z].

Special values include

tanh0 = 0

(5)

tanh(lnphi) = 1/5sqrt(5),

(6)

where phi is the golden ratio.

The derivative of tanhz is

 d/(dz)tanhz=sech^2z,

(7)

and higher-order derivatives are given by

 (d^n)/(dz^n)tanhz=(2^(n+1)e^(2z))/((1+e^(2z))^(n+1))sum_(k=0)^(n-1)<n; k>(-1)^ke^(2kz),

(8)

where <n; k> is an Eulerian number.

The indefinite integral is given by

 inttanhzdz=ln(coshz)+C.

(9)

tanhz has Taylor series

tanhz = sum_(n=0)^(infty)(2^(2n)(2^(2n)-1)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)

(10)

= z-1/3z^3+2/(15)z^5-(17)/(315)z^7+(62)/(2835)z^9-...

(11)

(OEIS A002430 and A036279).

As Gauss showed in 1812, the hyperbolic tangent can be written using a continued fraction as

 tanhx=x/(1+(x^2)/(3+(x^2)/(5+...)))

(12)

(Wall 1948, p. 349; Olds 1963, p. 138). This continued fraction is also known as Lambert's continued fraction (Wall 1948, p. 349).

The hyperbolic tangent tanhx satisfies the second-order ordinary differential equation

(13)

together with the boundary conditions f(0)=0 and .


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.

Olds, C. D. Continued Fractions. New York: Random House, 1963.

Sloane, N. J. A. Sequences A002430/M2100 and A036279 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Tangent tanh(x) and Cotangent coth(x) Functions." Ch. 30 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 279-284, 1987.

Wall, H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. New York: Chelsea, 1948.

Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.