المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024


Elliptic Alpha Function  
  
1354   12:57 صباحاً   date: 22-4-2019
Author : Borwein, J. M. and Borwein
Book or Source : P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.
Page and Part : ...


Read More
Differential
Date: 15-5-2018 1933
Leibniz Identity
Date: 15-5-2018 2369
Radical
Date: 4-9-2019 1669

Elliptic Alpha Function

 

Elliptic alpha functions relate the complete elliptic integrals of the first K(k_r) and second kinds E(k_r) at elliptic integral singular values k_r according to

alpha(r) =

(1)
= pi/(4[K(k_r)]^2)+sqrt(r)-(E(k_r)sqrt(r))/(K(k_r))

(2)
= (pi^(-1)-4sqrt(r)q(dtheta_4(q))/(dq)1/(theta_4(q)))/(theta_3^4(q)),

(3)

where theta_3(q) is a Jacobi theta function and

k_r = lambda^*(r)

(4)
q = e^(-pisqrt(r)),

(5)

and lambda^*(r) is the elliptic lambda function. The elliptic alpha function is related to the elliptic delta function by

alpha(r)=1/2[sqrt(r)-delta(r)].

(6)

It satisfies

alpha(4r)=(1+k_(4r))^2alpha(r)-2sqrt(r)k_(4r),

(7)

and has the limit

lim_(r->infty)[alpha(r)-1/pi] approx 8(sqrt(r)-1/pi)e^(-pisqrt(r))

(8)

(Borwein et al. 1989). A few specific values (Borwein and Borwein 1987, p. 172) are

alpha(1) = 1/2

(9)
alpha(2) = sqrt(2)-1

(10)
alpha(3) = 1/2(sqrt(3)-1)

(11)
alpha(4) = 2(sqrt(2)-1)^2

(12)
alpha(5) = 1/2(sqrt(5)-sqrt(2sqrt(5)-2))

(13)
alpha(6) = 5sqrt(6)+6sqrt(3)-8sqrt(2)-11

(14)
alpha(7) = 1/2(sqrt(7)-2)

(15)
alpha(8) = 2(10+7sqrt(2))(1-sqrt(sqrt(8)-2))^2

(16)
alpha(9) = 1/2[3-3^(3/4)sqrt(2)(sqrt(3)-1)]

(17)
alpha(10) = -103+72sqrt(2)-46sqrt(5)+33sqrt(10)

(18)
alpha(12) = 264+154sqrt(3)-188sqrt(2)-108sqrt(6)

(19)
alpha(13) = 1/2(sqrt(13)-sqrt(74sqrt(13)-258))

(20)
alpha(15) = 1/2(sqrt(15)-sqrt(5)-1)

(21)
alpha(16) = (4(sqrt(8)-1))/((2^(1/4)+1)^4)

(22)
alpha(18) = -3057+2163sqrt(2)+1764sqrt(3)-1248sqrt(6)

(23)
alpha(22) = -12479-8824sqrt(2)+3762sqrt(11)+2661sqrt(22)

(24)
alpha(25) = 5/2[1-25^(1/4)(7-3sqrt(5))]

(25)
alpha(27) = 3[1/2(sqrt(3)+1)-2^(1/3)]

(26)
alpha(30) = 1/2{sqrt(30)-(2+sqrt(5))^2(3+sqrt(10))^2×(-6-5sqrt(2)-3sqrt(5)-2sqrt(10)+sqrt(6)sqrt(57+40sqrt(2)))×[56+38sqrt(2)+sqrt(30)(2+sqrt(5))(3+sqrt(10))]}

(27)
alpha(37) = 1/2[sqrt(37)-(171-25sqrt(37))sqrt(sqrt(37)-6)]

(28)
alpha(46) = 1/2[sqrt(46)+(18+13sqrt(2)+sqrt(661+468sqrt(2)))^2×(18+13sqrt(2)-3sqrt(2)sqrt(147+104sqrt(2))+sqrt(661+468sqrt(2)))×(200+14sqrt(2)+26sqrt(23)+18sqrt(46)+sqrt(46)sqrt(661+468sqrt(2)))]

(29)
alpha(49) = 7/2-sqrt(7[sqrt(2)7^(3/4)(33011+12477sqrt(7))-21(9567+3616sqrt(7))])

(30)
alpha(58) = [1/2(sqrt(29)+5)]^6(99sqrt(29)-444)(99sqrt(2)-70-13sqrt(29))

(31)
= 3(-40768961+28828008sqrt(2)-7570606sqrt(29)+5353227sqrt(58))

(32)
alpha(64) = (8[2(sqrt(8)-1)-(2^(1/4)-1)^4])/((sqrt(sqrt(2)+1)+2^(5/8))^4).

(33)

J. Borwein has written an algorithm which uses lattice basis reduction to provide algebraic values for alpha(n).

 

REFERENCES:

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.

Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; and Bailey, D. H. "Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi." Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
التوتر والسرطان.. علماء يحذرون من "صلة خطيرة"
التاريخ / 2025-04-16

الأخبار العلمية
مرآة السيارة: مدى دقة عكسها للصورة الصحيحة
التاريخ / 2025-04-16

الساحة الاسلامية
نحو شراكة وطنية متكاملة.. الأمين العام للعتبة الحسينية يبحث مع وكيل وزارة الخارجية آفاق التعاون المؤسسي
التاريخ / 2025-04-14