مثال: إذا كانت دالة التكلفة الحدية MC ودالة الإيراد MR لإحدى المنشآت على الصورة التالية:
MC = 2.5Q2 - 20Q + 100
MR = 100 – 10Q
أوجد حجم الإنتاج الذي يحقق أعظم ربح ممكن.
الحل:
الربح = دالة الإيراد الكلي - دالة التكلفة الكلية
= TR – TCπ
وحيث أن:
دالة الإيراد الكلي = تكامل دالة الإيراد الحدي
دالة التكلفة الكلية = تكامل دالة التكلفة الحدية
حل آخر:
المشتقة الأولى لدالة الربح هي عبارة عن الربح الحدي ولذا فإن:
الربح الحدي = الإيراد الحدي - التكلفة الحدية
الربح الكلي: تكامل الربح الحدي:
حيث أن C: مقدار ثابت
1. إيجاد المشتقة الأولى
2. مساواتها بالصفر
4. بالتعويض عن قيم Q في المشتقة الثانية
عندما Q = 0 فإن:
قيمة موجبة وهذا يعني أنها نهاية صفري ← مرفوض.
ولذا فانه عندما Q = 4 فإن:
π"=-5(4) + 10 = -10
قيمة سالبة وهذا يعني أنها نهاية عظمى. وبذلك فإنه يتحقق أقصى ربح ممكن عندما 4 = Q.
مثال: إذا كانت دالة التكلفة الحدية MC ودالة الإيراد الحدي MR لإحدى المنشآت على الصورة التالية:
MR = 120 – 6Q
MC =3.6Q2 - 18Q + 90
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج الذي يعظم الربح
الحل:
دالة الربح الكلي = دالة الايراد الكلي ــ دالة التكلفة الكلية
قيمة سالبة وبذلك يتحقق أقصى ربح عندما 5 = Q.
يمكن التأكيد من صحة الحل كما يلي:
حيث أنه عند حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح فإن:
ثم الحل كما سبق باستخدام التحليل او باستخدام الجذر المميز نجد ان:
حيث أن المشتقة الثانية سالبة يكون لدالة الربح نهاية عظمى عندما 5= Q.
وللتأكيد قيم التعويض في MC, MR عن قيمة = Q.
حيث أنه عند حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح يكون MR = MC
