النهايات العظمى والصغرى للدوال متعددة المتغيرات والمقيدة (الأمثلية للدوال الاقتصادية متعددة المتغيرات والمقيدة)
عادة ما ترغب أي منشأة في تعظيم أرباحها وكذلك تخفيض تكاليفها، ومن ثم أيضاً تعظيم إنتاجها، إلا أن هناك بعض القيود التي تحول دون تحقيق هذه الأهداف، مثل الإمكانيات المادية والموارد البشرية والمواد الخام المتاحة، .... الخ، وبالنسبة لمستهلك ما يرغب في تعظيم منفعته من خلال استغلال بعض السلع والخدمات، ويواجه أيضاً بعض القيود مثل أسعار هذه السلع والخدمات أو دخله المتاح، ولإيجاد الحل الأمثل في مثل هذه الحالات يتم استخدام دالة لاجرانج Lagrange function، وتعتمد دالة لاجرانج على الخطوات التالية:
المقصود بمعامل لاجرانج (8)
يشير (8) معامل لاجرانج إلى درجة حساسية دالة الهدف للتغير الذي يحدث في قيمة ثابت القيد، أو هو مقياس لتلك الحساسية، حيث يمثل مقدار التغير في دالة الهدف نتيجة تغير ثابت قيمة دالة القيد بمقدار وحدة واحدة، وبذلك فإن معامل لا جرانج يكتسب الصفة الحدية بما يمثله من مقادير اقتصادية، هو بذلك يلعب دوراً هاماً في تغير سلوك العديد من الدوال الاقتصادية.
مثال: منشأة تقوم بإنتاج نوعين من السلع هما (,y x) وكانت دالة ربح المنشأة على الصورة التالية
= 80x - 2x2 - x y - 3y2 + 100 yπ
علماً بأنه يمكن إنتاج 12 وحدة فقط من كلا النوعين.
المطلوب: بدون استخدام دالة لاجرانج اوجد حجم الانتاج من كلا النوعين لتعظيم الربح باستخدام طريقة التعويض.
مثال: تقوم منشأة الأنوار بإنتاج نوعين من الأجهزة الكهربائية وكانت دالة الربح للمنشأة كما يلي:
= 80x - 2x2 - x y - 3y2 + 100y π
المطلوب: باستخدام دالة لاجرانج أوجد قيمة (y, x) اللذين يحققان أقصى ربح ممكن علماً بان: 12 = x + y
بحل المعادلتين الاولي والثانية معاً وذلك لحذف 8 ونحصل على معادلة جديدة تحل هذه المعادلة مع المعادلة الثالثة نحصل على قيم 8, x ,y كما يلي:
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية سالبة يكون لدالة الربح نهاية عظمى.
مثال: المطلوب تعظيم دالة المنفعة التالية:
U= 26x - 3x2 + 5 x y - 6 y2 + 12y
في ظل القيد:
3x + y = 170
الحل:
- صياغة دالة الهدف:
U= 26x - 3x2 + 5 x y - 6y2 + 12y
- صياغة دالة القيد وتحويلها إلى دالة صفرية:
x + y = 170
x + y - 170 = 03
- صياغة دالة لاجرانج كما يلي:
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية سالبة يكون لدالة المنفعة نهاية عظمى.
مثال: مصنع ينتج نوعين من السلع هي (,y x) وكانت دالة التكلفة الكلية كما يلي:
TC=6x2 + 10 y2 – x y +30
المطلوب باستخدام دالة لاجرانج أوجد حجم الإنتاج (x ,y) الواجب إنتاجهما من كلا النوعين لتخفيض التكاليف إلى أدنى حد ممكن، علماً بأنـه يمكن إنتاج 34 وحدة من كلا النوعين.
الحل:
1- صياغة دالة الهدف تخفيض التكلفة
TC = 6x2 + 10y2 - x y + 30
2 ـ صياغة دالة القيد وتحويلها إلى دالة صفرية.
x + y = 34
x + y - 34 = 0
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية موجبة يكون للدالة نهاية صغرى.
