المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

قصة موسى والعالم
2-06-2015
الفيلم التجريبي Experimental
2023-03-25
التعريف بأموال ومصالح الأشخاص المعهود بها إلى الموظف العام أو المكلف بخدمة عامة
4-7-2022
Addition of Carbenes to Alkenes: Cyclopropane Synthesis
21-8-2016
الوصف النباتي للرامي
2024-04-07
Discontinuous DNA Replication
21-4-2016

Differentiation and Integration in RN-The Darboux Integral in RN  
  
314   02:27 مساءاً   date: 24-11-2016
Author : Murray H. Protter
Book or Source : Basic Elements of Real Analysis
Page and Part : 140-145

The development of the theory of integration in RN for N ≥ 2 parallels the one-dimensional case given in Section of (The Darboux Integral for Functions on R1). For functions defined on an interval I in R1, we formed upper and lower sums by dividing I into a number of subintervals. In RN we begin with a domain F, i.e., a bounded region that has volume, and in order to form upper and lower sums, we divide F into a number of subdomains. These subdomains are the generalizations of the subinterval in R1, and the limits of the upper and lower sums as the number of subdomainstends to infinity yield upper and lower integrals. The subdomains can be thought of ashypercubesin RN with the volume of each hypercube just N times the length of a side.

Definition

Let F be a bounded set in RN that is a domain. A subdivision of F is a finite collection of domains {F1,F2,...,Fn} no two of which have common interior points and the union of which is F. That is,

We denote such a subdivision by the single letter Δ.

Let D be a set in RN containing F and suppose that f : D → R1 is a bounded function on F. Let  Δ be a subdivision of F and set

Definitions

The upper sum of f with respect to the subdivision  Δ is defined by the formula

where V(Fi) is the volume in RN of the domain Fi . Similarly, the lower sum of f is define by

 

Let  Δ be a subdivision of a domain F. Then  Δ/, another subdivision of F, is called a refinement of  Δ if every domain of  Δ/ is entirely contained in one of the domains of  Δ. Suppose that  Δ1 ={F1,F2,...,Fn} and  Δ2 ={G1,G2,...,Gm} are two subdivisions of F. We say that  Δ/, the subdivision consisting of all nonempty domains of the form Fi ∩ Gj , i = 1, 2,...,n,    j = 1, 2,...,m, is the common refinement of  Δ1 and  Δ2. Note that  Δ/ is a refinement of both  Δ1 and  Δ2.

Theorem 1.1

Let F be a domain in RN and suppose that f :F → R1 is bounded on F.

(a) If m ≤ f(x) ≤ M for all x ∈ F and if  Δ is any subdivision of F, then

(b) If  Δ/is a refinement of  Δ, then

(c) If  Δ1 and  Δ2 are any two subdivisions of F, then

Proof

(a) The proof of part (a) is identical to the proof of part (a) in Theorem1.1 in the (The Darboux Integral for Functions on RN), the same theorem for functions from R1 into R1.

(b) Let  Δ/={F/1,...,F/m} be a refinement of  Δ ={F1,F2,...,Fn}.We denote by F/1,F/2,...,F/k the domains of  Δ/ contained in F1. Then, using the symbols

we have immediately m1 ≤ m/i, i =1, 2,...,k, since each F/I is a subset of F1.

 (1.1)

The same type of inequality as (1.1) holds for F2,F3,...,Fn. Summing these inequalities, we get S−(F, Δ) ≤ S−(f, Δ/). The proof that S+(f, Δ/) ≤ S+(f, Δ) is similar.

(c) If  Δ1 and  Δ2 are two subdivisions, let  Δ/denote the common refinement. Then, from parts(a) and (b), it follows that  

Definitions

Let F be a domain in RN and suppose that f : F → R1 is bounded on F. The upper integral of f is defined by

where the greatest lower bound is taken over all subdivisions  Δ of F. The lower integral of f is

where the least upper bound is taken over all possible subdivisions  Δ of F.If

then we say that f is Darboux integrable, or just integrable, on F, and we designate the common value by

When we wish to emphasize that the integral is N-dimensional, we write

The following elementary results for integrals in RN are the direct analogues  of the corresponding theorems given in Chapter of(Elementary Theory of Integration)for func- tionsfrom R1 into R1. The proofs are the same except for the necessary alterationsfrom intervals in R1 to domains in Rn.

Theorem 1.2

Let F be a domain in RN. Let f,f1,f2 be functions from F into R1 that are bounded.

Theorem 1.3

Let F be a domain in RN and suppose that f :F → R1 is bounded.

(a) f is Darboux integrable on F if and only if for each ε> 0 there is a subdivision  Δ of F such that

(b) If f is uniformly continuous on F, then F is Darboux integrable on F.

(c) If f is Darboux integrable on F, then |f | is also.

(d) If f1,f2 are each Darboux integrable on F, then f1 · f2 is also.

(e) If f is Darboux integrable on F, and H is a domain contained in F, then f is Darboux integrable on H.

The proof of Theorem 1.2 follows the lines of the analogous theorem in R1.

For positive functions from an interval I in R1 to R1, the Darboux integral gives a formula for finding the area under a curve. If F is a domain in RN, N ≥ 2, and if f : F → R1 is a nonnegative function, then the

Darboux integral of  f gives the (N + 1)-dimensional volume “under the hyper surface f .”

Problems

  1. Let F be a domain in RN. Give an example of a function f : F → RN

such that f is bounded on F and

 

 

2. Suppose that F is a domain in RN and that f is integrable over F. Show that

 


Basic Elements of Real Analysis, Murray H. Protter, Springer, 1998 .Page(140-145)

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.